Modelo de Blume-Capel bidimensional

Modelo de Ising

No contexto de transições de fase ferromagnéticas, um modelo muito simples, mas não trivial, que incorpora interações de curto alcance (vizinhos próximos) é o Modelo de Ising. Proposto em 1925 pelo físico alemão alemão Ernst Ising (1900-1998), possui o seguinte formato:

${\mathcal {H}}=-J\sum _{<i,j>}\sigma _{i}\sigma _{j}-H\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i},$

onde $\sigma _{i}$ é uma variável aleatória que pode assumir os valores $\pm 1$ nos sítios $i=1,2,...,N$ de uma rede cristalina. O primeiro termo da soma, referente aos vizinhos próximos <i,j>, representa as energias de interação que devem dar origem a um estado ferromagnético (se J>0). Já o segundo termo, que representa a interação do sistema com um campo magnético externo H, é de caráter puramente paramagnético.

Pode-se interpretar as variáveis de spin de diferentes maneiras:

1.Componentes do spin dos átomos, na direção do campo externo, que podem "apontar para cima ou para baixo";
2.Como uma indicação de que o sítio i pode estar ocupado por um átomo de tipo A ou B;
3.Como um número de ocupação, que assinala a presença ou a ausência de uma molécula numa determinada célula de um "gás de rede".

A multiplicidade de interpretações permite inferir o caráter universal do modelo. Trata-se de um excelente ponto de partida para o estudo de modelos mais sofisticados.

A solução analítica, conforme demonstrado por Ising em 1925 para o caso unidimensional, passa inevitavelmente pelo cálculo da função de partição canônica,

$Z_{N}=\sum _{\sigma _{i}}exp(-\beta {\mathcal {H}}),$

cuja soma abrange todas as $2^{N}$ configurações. Na equação acima, $\beta ={\frac {1}{k_{b}T}}$. Para fins de simplificação, foi feita a suposição de que $k_{b}=1$.

No equilíbrio termodinâmico, a uma temperatura T, a probabilidade $P(\sigma )$ de encontrar o sistema na configuração $\sigma$ é

$P(\sigma )={\frac {1}{Z}}e^{-\beta E(\sigma )}.$

Outra função de estado particularmente relevante é a magnetização total, dada pela relação

${\mathcal {M}}=\sum _{i}\sigma _{i}.$

Já a energia do sistema, bem como as variações desta, é calculada, naturalmente, através do hamiltoniano que descreve o modelo de Ising.

Modelo de Blume-Capel

O modelo de Blume-Capel, batizado em honra aos proponentes Martin Blume (1932-2021) e Hans Willelm Capel (1936-), é uma generalização do modelo de Ising na medida em que agora os spins podem se alinhar paralelamente, antiparalelamente e ortogonalmente. Em outras palavras, o modelo de Blume-Capel trata do caso de um sistema de partículas com spin s=1, com as três configurações possíveis (-1, 0, +1), ao passo que o modelo de Ising tratava do caso em que $s={\frac {1}{2}}$, com somente duas configurações possíveis (-1,+1). Matematicamente:

${\mathcal {H}}=-J\sum _{<i,j>}\sigma _{i}\sigma _{j}+D\sum _{i}\sigma _{i}^{2},$

onde D representa a anisotropia do sistema. No caso limite em que D=0, recupera-se os resultados do modelo de Ising.

Para o cálculo da magnetização e energia do sistema, o raciocínio é o mesmo aplicado ao modelo de Ising, com a diferença de que agora deve-se levar em conta o termo quadrático bem como o fator D.

Por fim, é interessante citar uma peculiaridade deste modelo, o chamado ponto tricrítico. Trata-se de uma singularidade no diagrama de fase caracterizada por uma temperatura crítica $T_{c}$, que de acordo ...., é da ordem de $T_{c}=0.69$. A análise realizada neste trabalho não contemplou tal fenômeno, mas trata-se de uma possibilidade para um eventual prosseguimento da atividade.

Método de Monte Carlo

Neste trabalho utilizou-se o método de Monte Carlo, muito eficaz para obter o comportamento de sistemas magnéticos. Grosso modo, a ideia do método de Monte Carlo é escolher uma sequência de configurações independentes, constituindo uma cadeia de Markov. Algumas configurações iniciais são geradas longe do equilíbrio, mas à medida que o tempo passa devem ser geradas muitas configurações típicas de equilíbrio, a partir das quais pode-se realizar uma média aritmética, por exemplo. Pelo fato do referido método ter sido utilizado inúmeras vezes em trabalhos anteriores, julgou-se que apresentar uma abordagem teórica mais aprofundada soaria demasiado repetitivo.

No subtópico a seguir, realizou-se uma breve discussão acerca da implementação do Algoritmo de Metrópolis.

Algoritmo de Metropolis

Neste trabaho utilizou-se o Algoritmo de Metropolis, bastante discutido em atividades anteriores, para obter os dados do comportamento dos observáveis do sistema. Os passos para implementação do algoritmo:

1. Escolher uma condição inicial, e.g, aleatória;
2. Calcular a energia correspondente à configuração escolhida;
3. Escolher um sítio da rede e propôr uma nova direção para o seu spin;
4. Calcular a energia do estado recém gerado bem como a diferença energética $\Delta E$;
5. Se $\Delta E$ for negativo, aceitar a nova configuração gerada;
6. Se $\Delta E$ for positivo, calcular $e^{-\beta \Delta E}$ e sortear um número aleatório, r, entre 0 e 1:
 6.1) Se $r<e^{-\beta \Delta E}$, aceitar a nova configuração;
 6.2) Se $r>e^{-\beta \Delta E}$, continuar com a configuração inicial;	
7. Voltar ao item 3 e repetir o procedimento.

Resultados

Em função do tempo [MCS]

T=1.1

Energia vs tempo para uma temperatura fixa T=1.1

No gráfico acima, observa-se o comportamento da energia do em função do tempo. Para o sistema inicializado de forma desordenada, na forma de uma matriz L x L, onde L=32, a energia inicial da amostra é da ordem de -0.7. O sistema converge para a menor energia possível, mas isso só ocorre após a chamada termalização, ou seja, após uma determinada quantidade de passos temporais (na ordem de 300). Em outras palavras, é necessário que os componentes do sistema interajam de modo a atingirem a configuração de energia minimizada. Dessa forma, observa-se que em uma cadeia temporal relativamente curta, todos os spins são flipados e atingem a sua configuração menos energética.

O caso ordenado, onde o sistema foi inicializado com todos os spins para baixo, apresenta uma energia que flutua ao redor da energia inicial (menor) do sistema.

Magnetização vs tempo para uma temperatura fixa T=1.1

No gráfico acima, observa-se que o sistema inicializado de forma aleatória possui uma magnetização inicial muito próxima de zero, o que faz sentido físico tendo em vista a aleatoriedade da distribuição dos spins. A convergência para o caso ordenado demora o mesmo número de passos, 300, que no caso energético, o que era esperado.

No caso ordenado, a magnetização flutua ao redor do valor inicial de -1 durante a realização da simulação.

T=2.1

Energia vs tempo para uma temperatura fixa T=2.1

Diferentemente do caso T=1.1, agora o comportamento energético denota que tanto o sistema inicializado de forma ordenada quanto desordenada convergem rapidamente (em poucos passos temporais) para um valor central de energia, em torno de -0.7. Isso se deve à maior temperatura de inicialização do sistema, o que implica uma maior desordem configuracional. No decorrer da simulação, a energia flutua ao redor do referido valor central.

Magnetização vs tempo para uma temperatura fixa T=2.1

Diferentemente do caso energético, a magnetização se descorrelaciona mais devagar, levando quase 50 passos temporais para tanto. No decorrer da simulação, a magnetização flutua ao redor de 0.

Em função da temperatura

Energia vs Temperatura, para diferentes tamanhos do sistema.

O gráfico acima apresenta o comportamento energético de um sistema 24 x 24 e outro de 32 x 32. Os valores plotados representam o somatório das energias de cada configuração dividido pelo fator $L^{2}$. Não faz sentido, no presente caso, pensar em inicialização aleatória ou ordenada visto que o valor plotado representa uma média dos valores de energia após 10000 interações. Em outras palavras, a média é tirada quando o sistema já está em equilíbrio, por assim dizer.

Para ambos os casos, o comportamento energético é praticamente idêntico: por se tratar de D=0, isso emula o comprtamento observado no modelo de Ising.

Magnetização vs Temperatura, para diferentes tamanhos do sistema.

Para o caso da magnetização em função da temperatura, é interessante notar que foi plotado o somatório dos módulos das magnetizações de cada sítio, sendo novamente esse valor dovidido por $L^{2}$.

Inicialmente a magnetização de ambos os sistemas apresentava o mesmo comportamento. Conforme a temperatura aumentava, no entanto, a magnetização do sistema de L=32 diminuía mais rapidamente, até que por volta de T=2.5, ambos os comportamentos voltavam a se igualar. Novamente, isso confirma o resultado do modelo de Ising.

Energia vs Temperatura, para diferentes tamanhos do sistema.

O gráfico acima descreve um comportamento semelhante àquele observado quando D=0: ambos os sistema sapreesentam um comportamento energético quase idêntico.

Magnetização vs Temperatura, para diferentes tamanhos do sistema.

Novamente observa-se um comportamento semelhante àquele obtido no caso D=0. Aora, no entanto, as magnetizações dos dois sistemas distintos passam a apresentar o mesmo comportamento a partir de uma temperatura maior, em torno de T=2,5.

Energia vs Temperatura, para diferentes tamanhos do sistema.

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mAGNETIZAÇÃO vs Temperatura, para diferentes tamanhos do sistema.