Grupo3 - Ondas2

Introdução

Equações diferenciais parciais (EDP's) hiperbólicas geralmente podem ser formuladas a partir de teoremas de conservação. Um exemplo é a equação do tipo:

${\frac {\partial {\vec {U}}}{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {F}}(U)={\vec {S}}(U)$,

onde ${\vec {U}}$ é o vetor de densidades da quantidade conservada, i.e., ${\vec {U}}=(U_{1},...,U_{n})$, ${\vec {F}}$ é o fluxo de densidade e ${\vec {S}}$ é um termo genérico representando fontes ou sumidouros.

Uma classe especial de equações hiperbólicas são as chamadas equações de adveção, na qual a derivada temporal da quantidade conservada ${\vec {U}}({\vec {x}},t)$ é proporcional à sua derivada espacial. Nesses casos, ${\vec {F}}(U)$ é diagonal e dada por:

${\vec {F}}(U)=v{\vec {I}}\cdot {\vec {U}}$,

onde ${\vec {I}}$ é a matriz identidade.

Considerando apenas uma dimensão e com ${\vec {U}}\equiv u$, temos a equação de adveção:

${\frac {\partial u}{\partial t}}+v{\frac {\partial u}{\partial x}}=0$,

onde $v$ é a velocidade de propagação do pulso gerado. A equação admite uma solução analítica da forma Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u = f(x - vt)} , representando uma onda se movendo na direção Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} .

A equação da onda em uma dimensão é uma EDP hiperbólica de segunda ordem dada por

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}. }

E admite duas soluções, representadas por pulsos, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x + vt)} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x - vt)} .

Assumindo que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v \neq v(x)} na equação da onda, nos restringimos a problemas lineares. Além disso, se escrevermos

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k = v \frac{\partial u}{\partial x} } , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s = \frac{\partial u}{\partial t}, }

então a equação da onda pode ser escrita como um sistema de três equações diferenciais de primeira ordem:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{cases}\frac{\partial k}{\partial t} = v\frac{\partial s}{\partial x} \\ \frac{\partial s}{\partial t} = v\frac{\partial k}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial t} = s \end{cases} }

Em notação vetorial, o sistema acima pode ser reescrito na forma conservativa como: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial U}{\partial t}+ \frac{\partial F(U)}{\partial x} = 0 } ,

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U = \begin{pmatrix}k\\s\end{pmatrix},\quad \textrm{e}\quad F(U) =\begin{pmatrix}0 & -v\\-v & 0\end{pmatrix}}

O Problema Físico

O Modelo de Corda Ideal

Para uma primeira abordagem da equação da onda, podemos primeiro dividir o comprimento Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} da corda em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} intervalos de comprimentos iguais, dessa forma Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x = \frac{L}{K}} . Cada intervalo é discretizado, representado por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_i} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i=0,1,...,K} . Também podemos dividir o tempo em intervalos iguais Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta t} e denotá-los como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_n} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n =0,1...} .

Tendo feita a discretização das variáveis, podemos aproximar a equação da onda por diferenciação finita, utilizando derivadas centradas da seguinte forma:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2u}{\partial t^2}=\frac{U^{n+1}_{i}-2U^n_i+U^{n-1}_i}{\Delta t^2}}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2u}{\partial x^2}=\frac{U^{n}_{i+1}-2U^n_i+U^{n}_{i-1}}{\Delta x^2}}

Assim, chegamos em uma equação discretizada: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{u(i,n+1)-2u(i,n)+u(i,n-1)}{(\Delta t)^2} = v^2 \frac{u(i+1,n)-2u(i,n)+u(i-1,n)}{(\Delta x)^2}} .

Sabendo que essa discretização da equação da onda pode ser verificada como sendo o método Leapfrog (ver seção do método de Leapfrog), podemos resolver a equação para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(i,n+1)} para sabermos o deslocamento de uma partição da corda no momento de tempo seguinte, assim obtendo

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_i^{n+1} = 2(1-r^2)u_i^n + r^2[u_{i+1}^n+u_{i-1}^n]-u_i^{n-1}} ,

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r = v \frac{\Delta t}{\Delta x}.}

Um Quadro Mais Realístico - O Modelo de Corda Rígida

Para nos aproximarmos de um modelo mais real, podemos adicionar um termo à equação original da onda que corresponde ao efeito de fricção em uma corda. De acordo com [1], a equação da onda mais geral com efeito de fricção pode ser escrita como

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = v^2 \left( \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} - \epsilon L^2 \frac{\partial^4 y}{\partial x^4} \right),}

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} é a velocidade transversal de propagação do pulso na corda, dada pela relação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v = \sqrt[]{\frac{T}{\rho}}} (sendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} a tensão na corda e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho} a densidade linear da mesma), Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon} é um parâmetro adimensional de fricção que representa a rigidez da corda e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} o comprimento da corda.

O parâmetro Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon} é dado por

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon = \kappa² \frac{E S}{T L^2}} ,

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \kappa} é o raio da corda, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E} é o Módulo de Young e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S} a área da secção da corda.

Ao discretizarmos a equação da onda em uma corda com fricção e a resolvendo para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_i^{n+1}} obtemos:

$u_{i}^{n+1}=[2-2r^{2}-6\epsilon r^{2}K^{2}]u_{i}^{n}-u_{i}^{n-1}+r^{2}[1+4\epsilon K^{2}][u_{i+1}^{n}+u_{i-1}^{n}]-\epsilon r^{2}K^{2}[u_{i+2}^{n}+u_{i-2}^{n}].$

O fato de essa discretização depender do deslocamento da corda em posições $i-2$ e $i+2$ implica em precisarmos simular "pontos fantasmas" quando integramos os extremos das cordas. Para fazermos isso, podemos ou utilizar a aproximação $u_{-1}^{n}=-u_{+1}^{n}$ ou podemos considerar esses "pontos fantasmas" como pontos presos e, portanto, sempre iguais a zero.

Os Métodos Utilizados

Foi realizada uma abordagem ao problema da corda real a partir de três métodos diferentes de integração numérica. Os três são métodos para fins de resolução de equações diferenciais parciais da forma apresentada anteriormente.

O método mais básico é chamado de FTCS (Forward-Time-Centered-Space) e consiste em duas expansões de Taylor ao redor do ponto $x_{j}$:

$u(x_{j}+\Delta x,t^{n})=u(x_{j},t^{n})+{\frac {\partial u}{\partial x}}(x_{j},t^{n})\Delta x+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}(x_{j},t^{n})\Delta x^{2}+{\mathcal {O}}(\Delta x^{3}),$

$u(x_{j}-\Delta x,t^{n})=u(x_{j},t^{n})-{\frac {\partial u}{\partial x}}(x_{j},t^{n})\Delta x+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}(x_{j},t^{n})\Delta x^{2}+{\mathcal {O}}(\Delta x^{3}).$

Subtraindo as duas expressões, encontramos a expressão

${\frac {\partial u}{\partial x}}|_{j}^{n}={\frac {u_{j+1}^{n}-u_{j-1}^{n}}{2\Delta x}}+{\mathcal {O}}(\Delta x^{2})$,

A qual podemos substituir na equação da onda, juntamente com a discretização da derivada parcial temporal. Temos então que, para um sistema linear de equações hiperbólicas:

${\textbf {U}}_{j}^{n+1}={\textbf {U}}_{j}^{n}-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}[{\textbf {F}}_{j+1}^{n}-{\textbf {F}}_{j-1}^{n}]+{\mathcal {O}}(\Delta t^{2},\Delta x^{2}\Delta t)$

Visto que essa última notação é mais genérica, ela será utilizada para a explicação dos métodos posteriores.

O Método de Lax-Friedrichs

O método de Lax-Friedrichs consiste em substituir o termo ${\textbf {U}}_{j}^{n}$ com sua respectiva média espacial, i.e., $u_{j}^{n}=(u_{j+1}^{n}+u_{j-1}^{n})/2$. Logo, temos a seguinte equação de recorrência:

${\textbf {U}}_{j}^{n+1}={\frac {1}{2}}({\textbf {U}}_{j+1}^{n}+{\textbf {U}}_{j-1}^{n})-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}[{\textbf {F}}_{j+1}^{n}-{\textbf {F}}_{j-1}^{n}]+{\mathcal {O}}(\Delta x^{2})$

O Método de Leapfrog

Podemos adaptar o método de Leapfrog para esse sistema de equações ao fazermos

$k_{i+{\frac {1}{2}}}^{n}\equiv v\left.{\frac {\partial u}{\partial x}}\right|_{i+{\frac {1}{2}}}^{n}=v{\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}}{\Delta x}}+{\mathcal {O}}(\Delta x)\qquad (1)$

$s_{i}^{n+{\frac {1}{2}}}\equiv \left.{\frac {\partial u}{\partial t}}\right|_{i}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}+{\mathcal {O}}(\Delta t)\qquad (2)$

Com a representação Leapfrog das equações do sistema de três equações, temos:

$k_{i+{\frac {1}{2}}}^{n+1}=k_{i+{\frac {1}{2}}}^{n}+r(s_{i+1}^{n+{\frac {1}{2}}}-s_{i}^{n+{\frac {1}{2}}})+{\mathcal {O}}(\Delta x^{2})\qquad (3)$

$s_{i}^{n+{\frac {1}{2}}}=s_{i}^{n-{\frac {1}{2}}}+r(k_{i+{\frac {1}{2}}}^{n}-k_{i-{\frac {1}{2}}}^{n})+{\mathcal {O}}(\Delta x^{2})\qquad (4)$

Com essas duas equações, podemos fazer uma integração utilizando o método de Euler para obter $u_{j}^{n+1}$, ou seja, o deslocamento de um determinado ponto no próximo instante de tempo:

$u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}+{\frac {\Delta t}{2}}s_{i}^{n+{\frac {1}{2}}}+{\mathcal {O}}(\Delta x^{2}).$ Contudo, podemos fazer uma simples substituição das equações $(1)$ e $(2)$ nas equações $(3)$ e $(4)$ e, assim, obtemos que a representação de Leapfrog da equação da onda é dada pela discretização de segunda ordem da própria equação da onda, com ${\mathcal {O}}(\Delta t^{2},\Delta x^{2})$. Isso nos dá uma solução de "um passo", onde só precisamos efetuar o cálculo da equação discretizada.

O Método de Lax-Wendroff

O método de Lax-Wendroff é a extensão do método de Lax-Friedrichs de segunda ordem. Calculamos o vetor $U$ a partir de um passo médio de Lax-Friedrichs:

${\textbf {U}}_{j+{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}[{\textbf {U}}_{j+1}^{n}+{\textbf {U}}_{j}^{n}]-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}[{\textbf {F}}_{j+1}^{n}-{\textbf {F}}_{j}^{n}]+{\mathcal {O}}(\Delta x^{2})$,

${\textbf {U}}_{j-{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}[{\textbf {U}}_{j}^{n}+{\textbf {U}}_{j-1}^{n}]-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}[{\textbf {F}}_{j}^{n}-{\textbf {F}}_{j-1}^{n}]+{\mathcal {O}}(\Delta x^{2})$,

E encontramos os fluxos ${\textbf {F}}_{j\pm {\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}$ a partir dos valores de ${\textbf {U}}_{j\pm {\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}.$

Logo, com um meio passo de Leapfrog, temos a expressão final do método:

${\textbf {U}}_{j}^{n+1}={\textbf {U}}_{j}^{n}-{\frac {\Delta t}{\Delta x}}[{\textbf {F}}_{j+{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}-{\textbf {F}}_{j-{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}]+{\mathcal {O}}(\Delta x^{2})$

Conclusões (?)

vsf caetano vsf doria

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