Artur Uhlik Fröhlich e Leonardo Dasso Migotto
O objetivo deste trabalho é resolver computacionalmente a equação de Langevin utilizando o método BAOAB[LEIMKUHLER.] Serão explorados os casos de partículas individuais livres ou sujeitas a um campo potencial, estudando os efeitos da variação do coeficiente de atrito no desvio quadrático médio e na transisão de fases.
Equação de Langevin
Esta equação diferencial estocástica descreve a evolução de um sistema quando sujeito a forças do tipo determinísticas e estocásticas simultâneamente. A sua aplicação mais popular é relativa ao movimento Browniano, o movimento de uma partícula macroscópica imersa em um fluído, sujeita à força de atrito excercida pelas partículas microscópicas do fluído. Neste caso, a equação pode ser escrita como:
![{\displaystyle {\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=-\gamma {\vec {v}}/m+\mathrm {E} (t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cf9a5e3ed2092c60cc2bf59a3af46f2ef2b0f20)
Na equação acima,
é o coeficiente de atrito e
é um ruído estocástico branco, que segue o Teorema Central do Limite com média 0 e desvio padrão relacionado à temperatura, a Constante de Boltzmann,
e a massa da partícula. A partir desta expressão, é possível descobrir a relação do coeficiente de difusão do fluído e os valores envolvidos na equação:
![{\displaystyle D={\frac {2k_{B}T}{\gamma m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2779f43ac09788c393479a03a04b322c2f93d985)
Onde
é o coeficiente de difusão do meio,
é a constante de Boltzmann,
é a temperatura e
é a massa da partícula macroscópica. Outra relação presente no livro do Frenkel [FRENKEL], desenvolvida teoricamente, é a do coeficiente de difusão e o deslocamento quadrático médio de uma partícula no meio:
![{\displaystyle \left\langle \left(r(t)-r_{0}(t)\right)^{2}\right\rangle =2dDt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b93a755d363b794d96c3ba49675f1775aa372718)
Método BAOAB
O método numérico escolhido para realizar a integração da equação é conhecido como BAOAB, desenvolvido por Leimkuhler e Mattews [1] utilizado para resolver equações diferenciais estocásticas.
Ele é baseado na solução exata para o momentum,
![{\displaystyle d{\vec {p}}=-\gamma {\vec {p}}dt+{\sqrt {2\gamma mk_{B}T}}d{\vec {W}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c26368d0e9c785e97bcf57dd9be2e62181a5640)
e faz o uso de um método de separação das equações entre as denominadas A, B e O, respectivamente representadas:
![{\displaystyle {\vec {r}}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right)={\vec {r}}(t)+{\frac {\Delta t}{2}}{\vec {p}}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right){\frac {1}{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97f9df0f215bb6a15698f59817393e67260ec96f)
![{\displaystyle {\vec {p}}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right)={\vec {p}}(t)+{\frac {\Delta t}{2}}{\vec {f}}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/744feb5abff70b0cb82ea11184b8a9ca091d4435)
![{\displaystyle {\vec {p'}}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right)=exp(-\gamma \Delta t){\vec {p}}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right)+{\sqrt {1-exp(-2\gamma \Delta t)}}{\sqrt {mk_{B}T}}{\vec {G}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4bfbdab3585be9473fefebf8d97920ec6cb74e9)
O
aqui representa um número aleatório Gaussiano que faz o papel da força estocástica.
A equação "A" realiza meio passo no tempo da distância, a "B" realiza um meio passo para o momentum e o "O" contabiliza a contribuição estocástica equação.
Essas equações podem formar vários algoritmos de integração mas o utilizado nesse trabalho será o BAOAB:
![{\displaystyle {\vec {p}}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right)={\vec {p}}(t)+{\frac {\Delta t}{2}}{\vec {f}}(t)\quad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69bf5ab659120634c52a20a8289dc2761eb825c9)
![{\displaystyle {\vec {r}}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right)={\vec {r}}(t)+{\frac {\Delta t}{2}}{\vec {p}}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right){\frac {1}{m}}\quad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43e01754c33207e2b5ff490322474f0a98325110)
![{\displaystyle {\vec {p'}}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right)=exp(-\gamma \Delta t){\vec {p}}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right)+{\sqrt {1-exp(-2\gamma \Delta t)}}{\sqrt {mk_{B}T}}{\vec {G}}\quad (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7884dcf11a2ebec2d243bd41bfa877e2826928b9)
![{\displaystyle {\vec {r}}(t+\Delta t)={\vec {r}}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right)+{\frac {\Delta t}{2}}{\vec {p'}}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right){\frac {1}{m}}\quad (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/741ae31b08e012a1aec8c5ff4ffc62d0973c41dc)
![{\displaystyle {\vec {p}}(t+\Delta t)={\vec {p'}}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right)+{\frac {\Delta t}{2}}{\vec {f}}(t)\quad (5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56fd59a038308c012ef0f200f8ccac881465b40c)
É importante lembrar que entre os dois últimos passos é necessário atualizar o termo
, já que ele pode depender de termos já atualizados como
ou
.
Implementação
Simulação de uma partícula livre sob o efeito da Equação de Langevin.
Referências
- ↑
Leimkuhler, B., & Matthews, C. (2015). Molecular Dynamics: With Deterministic and Stochastic Numerical Methods. (Interdisciplinary Applied Mathematics; Vol. 39). Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-319-16375-8