Equação de Langevin

O método numérico escolhido para realizar a integração da equação é conhecido como BAOAB, desenvolvido por Leimkuhler e Mattews utilizado para resolver equações diferenciais estocásticas.

Ele faz o uso de um método de separação das equações entre as denominadas A, B e O, respectivamente representadas:

${\vec {r}}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right)={\vec {r}}(t)+{\frac {\Delta t}{2}}{\vec {p}}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right){\frac {1}{m}}$

${\vec {p}}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right)={\vec {p}}(t)+{\frac {\Delta t}{2}}{\vec {f}}(t)$

${\vec {p'}}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right)=exp(-\gamma \Delta t){\vec {p}}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right)+{\sqrt {1-exp(-2\gamma \Delta t)}}{\sqrt {mk_{B}T}}{\vec {G}}$

O ${\vec {G}}$ aqui representa um número aleatório Gaussiano que faz o papel da força estocástica.

A equação "A" realiza meio passo no tempo da distância, a "B" realiza um meio passo para o momentum e o "O" contabiliza a contribuição estocástica equação.

Essas equações podem formar vários algoritmos de integração mas o utilizado nesse trabalho será o BAOAB:

${\vec {p}}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right)={\vec {p}}(t)+{\frac {\Delta t}{2}}{\vec {f}}(t)\quad (1)$

${\vec {r}}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right)={\vec {r}}(t)+{\frac {\Delta t}{2}}{\vec {p}}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right){\frac {1}{m}}\quad (2)$

${\vec {p'}}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right)=exp(-\gamma \Delta t){\vec {p}}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right)+{\sqrt {1-exp(-2\gamma \Delta t)}}{\sqrt {mk_{B}T}}{\vec {G}}\quad (3)$

${\vec {r}}(t+\Delta t)={\vec {r}}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right)+{\frac {\Delta t}{2}}{\vec {p'}}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right){\frac {1}{m}}\quad (4)$

${\vec {p}}(t+\Delta t)={\vec {p'}}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right)+{\frac {\Delta t}{2}}{\vec {f}}(t)\quad (5)$

É importante lembrar que entre os dois últimos passos é necessário atualizar o termo ${\vec {f}}$, já que ele pode depender de termos já atualizados como ${\vec {p}}$ ou ${\vec {r}}$.