Amostragem de Wang-Landau

O algorítmo de amostragem de Wang-Landau é um método de amostragem para simulações de Monte Carlo introduzido por F.Wang e D.P Landau em 2001 que apresenta diversas vantagens sobre outros métodos para sistemas de spins. Dentre eles podemos citar o algoritmo de Metropolis, o algoritmo de clustering de Wolff, ou em um modelamento de ensamble multi-canônico. Nestes dois últimos métodos são utilizados métodos de repesagem de histogramas que são limitados em sistemas grandes devido as baixa qualidade estatística nas asas do histograma. Dentro deste contexto, o algoritmo Wang-Landau promete resolver problemas encontrados em amostragens convencionais como o critical slowing down para temperaturas próximas da temperatura critica $T_{c}$ utilizando-se de caminhadas aleatórias controladas para mapear a densidade de estados $g(E)$ de um sistema, sem fazer uso de qualquer repesagem de histogramas.

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A maioria dos algoritmos de amostragem convencionais geram uma distribuição canônica não normalizada

$P(E,T)=g(E)e^{-E/K_{B}T},$

para uma determinada temperatura $T$, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro termodinâmico para uma distribuição significantemente grande de temperaturas. Como $g(E)$não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo $E$, podemos encontrar a função de partição

$Z(T)=\sum _{E}g(E)e^{-E/K_{B}T},$

e o sistema esta essencialmente resolvido, uma vez que grande parte dos parâmetros termodinâmicos podem ser derivados de $Z$. Além disso, a amostragem de Wang-Landau é provada ser útil em diversas aplicações como o antiferromagneto de Potts, sistemas de spins aleatórios, sistemas quânticos, etc... .

Descrição do algoritmo de Wang Landau

Descreveremos o funcionamento do algoritmo de Wang-Landau num sistema de spins clássicos de 2 estados com valores discretos de energia e sem campo magnético. Portanto quando nos referirmos a $g(E)$ como densidade de estados, interpretamos como o número de estados com energia E. A amostragem de Wang-Landau faz caminhadas aleatórias no espaço de energia mudando os estados de spins aleatoriamente selecionados, porém esta mudança só é aceita com probabilidade proporcional a reciproca da densidade de estados. Durante a caminhada também se acumula o número de vezes que uma energia é visitada durante a caminhada $H(E)$, isto é, ao visitarmos a energia $E_{1}$ faz-se a atualização da variável $H(E_{1})\rightarrow H(E_{1})+1$. Por outro lado, a atualização da densidade de estados $g(E_{1})$ se da por um fator multiplicativo $f$ ($g(E_{1})\rightarrow g(E_{1})\times f$) controlado ao longo da simulação para que seja muito próximo de 1 ao final das caminhadas.

Podemos descrever os passos do algoritmo da seguinte maneira:

1. Inicializamos as densidades de energias com $g(E)=1$ para todo $E$, da mesma forma $H(E)=0$ para todo $E$.
2. Inicializamos $f=f_{0}=e\approx 2.71828$ e um sistema $L\times L$ de spins de valor 1 e -1 aleatoriamente distribuídos.
   • O valor de $f$ é arbitrário e deve ser escolhido não muito pequeno, pois irá fazer com que a simulação demore muito tempo para explorar diversas energias, por outro lado se escolhido muito grande, levará a erros estatísticos significativos.
3. Começamos a caminhada inicial escolhendo aleatoriamente um dos spins e mudando o seu estado.
4. Se denotamos $E_{1}$ como a energia antes da mudança de estado do spin selecionado e $E_{2}$ como a energia após, aceitamos este novo estado com a seguinte probabilidade: $P(E_{1}\rightarrow E_{2})={\text{min}}\left({\frac {g(E_{1})}{g(E_{2})}},1\right)$
   • Se aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de $g(E)$ e $H(E)$ como $g(E_{2})\rightarrow g(E_{2})\times f$ e $H(E_{2})\rightarrow H(E_{2})+1$ respectivamente.
   • Se não aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de $g(E)$ e $H(E)$ como $g(E_{1})\rightarrow g(E_{1})\times f$ e $H(E_{1})\rightarrow H(E_{1})+1$ respectivamente, de maneira a recontar o estado $E_{1}$.
   • Destaca-se que em ambos os casos usamos $\ln(g(E))=\rightarrow \ln(g(E))+\ln(f)$, pois ao longo da simulação acabamos usando números muito grandes.
5. Faz-se esta caminhada aleatória nos diferentes estados do sistema até que o histograma $H(E)$ esteja aproximadamente plano.
   • O critério para decidir se um histograma está plano é arbitrário. Para um hamiltoniano Ising 2D este critério pode ser definido tão alto quanto 95% (i.e. todos os valores de $H(E)$ devem ser pelo menos 95% de $\langle H(E)\rangle$), porém valores mais altos que isso podem resultar no programa nunca identificando o histograma como plano.
6. Checa-se se $H(E)$ está plano a cada 10000 passos MC. Quando está plano, podemos dizer que todos os estados foram visitados uma quantidade de vezes aproximadamente igual e a densidade de estados $g(E)$ converge ao valor real com precisão da ordem de $f$.
7. Reduz-se o fator $f$ da seguinte maneira $f_{1}\rightarrow {\sqrt {f_{0}}}$, reinicia-se o histograma $H(E)=0$ e recomeça-se a caminhada aleatória com este novo fator $f$. (Todos os parâmetros não mencionados neste passo permanecem intocados).
8. Continuamos executando os passos 5-7, reduzindo o fator $f$ segundo a seguinte expressão $f_{i+1}={\sqrt {f_{i}}}$
9. Encerra-se a simulação quando $f_{final}$ estiver da ordem do erro desejado.
   • Claro que $f_{final}$ pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, mas sempre com um certo limite razoável $(10^{-6}-10^{-8})$, ou a simulação pode tomar tempos não razoáveis para completar.

Observações sobre o algoritmo

Nesta seção discutimos algumas observações importantes a se levar em conta na implementação do método de amostragem de Wang-Landau

Fator de modificação f

Quando tratamos da atualização do fator $f$, a expressão $f_{i+1}={\sqrt {f_{i}}}$ é apenas uma recomendação, uma vez que outros valores de $n>1$ podem ser escolhidos para uma atualização do tipo $f_{i+1}=f_{i}^{(1/n)}$. Não obstante, $n=2$ é adequado para grande parte dos sistemas estudados, resultando em boa acurácia em relativamente pouco tempo de simulação.

Implementação paralela

A simulação pode ser melhorada ainda fazendo múltiplas caminhadas aleatórias paralelamente no espaço de energias. Restringindo o alcance das caminhadas proporcionalmente com o número de caminhantes em paralelo (e.g. No caso de 2 caminhantes simultâneos, dividimos o espaço de energias em 2 e restringimos um caminhante para a metade inferior das energias, e o outro para a parte superior) e depois juntando as densidades de estados resultantes.

Balanço detalhado

A condição de balanço detalhado inicialmente não é satisfeita uma vez que $g(E)$ é constantemente modificada durante a caminhada aleatória. Porém após várias iterações, a condição é satisfeita a medida que $f$ se aproxima de 1. Observa-se que se $P(E_{1}\rightarrow E_{2})$ é a probabilidade de transição da energia $E_{1}$ para a energia $E_{2}$, utilizando a equação do passo 4 do algoritmo temos que:

${\frac {P(E_{1}\rightarrow E_{2})}{P(E_{2}\rightarrow E_{1})}}={\frac {g(E_{1})}{g(E_{2})}}.$

Podemos reescrever a equação de uma forma mais familiar

${\frac {1}{g(E_{1})}}P(E_{1}\rightarrow E_{2})={\frac {1}{g(E_{2})}}P(E_{2}\rightarrow E_{1})$

que é a condição de balanceamento detalhado, uma vez que interpretamos que $1/g(E_{1})$ como a probabilidade do sistema possuir a energia $E_{1}$ e analogamente para $E_{2}$. Concluímos então que a condição de balanço detalhado é satisfeita com precisão proporcional a $\ln(f)$.