Modelo de Potts - 2D

O Modelo

Modelo de Potts pode ser considerado uma generalização do Modelo de Ising. Enquanto no Ising, os spins podem assumir valores 1 ou -1, no Modelo de Potts, os spins podem assumir valores que dependem de uma variavél $q$ da seguinte forma: $\theta _{n}={\frac {2\pi n}{q}}$. A quantidade $\theta _{n}$ nos fornece as possíveis orientações para os spins. Os valores que $n$ pode assumir são $n=0,1,2,...,q-1$. Dessa forma, um Modelo de Potts bidimensionaç com $q=10$ possui uma rede bidimensional de spins com 10 orientações diferentes.

O Hamiltoniano de interação, na ausência de campo magnético, pode ser escrito como

$H_{p}=-J\sum _{(i,j)}\delta (s_{i},s_{j})$

onde $J$ é a constante de acoplamento que determina a intensidade da interação e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta(s_i,s_j) } é a delta de Kronecker, definida como 0 se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_i=s_j} e 1 se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_i\neq s_j} .

Relação com o Modelo de Ising

O Modelo de Ising é obtido quando tomamos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q=2} na expressão para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta_n} .

O Hamiltoniano de Ising pode ser escrito como o Hamiltoniano do Potts mais uma constante aditiva Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_I = H_p + \sum_{(i,j)}\frac{J}{2} = -J\sum_{(i,j)} \delta(s_i,s_j) + \sum_{(i,j)}\frac{J}{2} = -\frac{J}{2}\sum_{(i,j)} (2\delta(s_i,s_j) - 1) }

Se incluírmos o campo magnético, o Hamiltoniado fica Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_p = -J \sum_{(i,j)} \delta(s_i,s_j) - \sum_i \frac{1}{\beta} h_i s_i}

Algoritmo de Metropolis

Vamos implementar o Modelo de Potts utilizando o algoritmo de Metropolis.

O algoritmo de Metropolis é um método de Cadeia de Markov Monte Carlo (MCMC) para obter amostras aleatórias a partir de uma distribuição de probabilidade da qual a amostragem direta é difícil. O procedimento para a implementação do algoritmo é apresentado abaixo.

1. Inicialize

a) Escolha um estado inicial Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_0} ;

b) Coloque Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=0}

2. Itere

a) Gere um estado candidato aleatório Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x'} de acordo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x'|x_t)}

b) Calcule a probabilidade de aceitação $A(x',x_{t})=min\left(1,{\frac {P(x')}{P(x_{t})}}{\frac {g(x_{t}|x'}{x'|x_{t}}}\right)$

c) Aceite ou rejeite:

1) Gere um número aleatório uniforme $u\in [0,1]$;

2) E se $u\leq A(x',x_{t})$, aceite o novo estado e defina $x_{t+1}=x'$;

3) E se $u>A(x',x_{t})$, rejeite o novo estado e copie o estado antigo para frente $x_{t+1}=x_{t}$;

4) Incremente: coloque t = t + 1

Em nosso caso, a distribuição ${\frac {A(x,x')}{A(x',x)}}$ é $e^{-\beta \Delta E}$, onde $\Delta E=E_{x'}-E_{x}$.

Resultados

[[Arquivo: <arquivo> |thumb|right|500px| Simulação com o algoritmo de Metropolis para $T=1K$.]]

Códigos utilizados

Metropolis - Potts 2D

Referências

D. P. Landau, K. Binder. A Guide Monte Carlo Simulations in Statistical Physics. Cambridge University. New York. 2000.

L. M. Barone, E. Marinari, G. Organtini, F. Ricci-Tersengui. Scientific Programming: C-Language, Algorithms and Models in Science. World Scientific. Singapore. 2013.