Introdução a Sistemas Dinâmicos

Lista I

1. Resolva os problemas 3.1 a 3.9 do livro texto (II edição).
2. Resolva os problemas 4.16-4.21 do livro texto (II edição).
3. Encontre a solução para ${\frac {dx}{dt}}=t(x-1)\;\;;x(0)=x_{0}$
4. Mostre que $H=x^{4}+2cos(t)+t^{2}$ é solução para a equação ${\frac {dx}{dt}}={\frac {2(sen(t)-t)}{4x^{3}}}$.
5. Uma bola de massa m cai sem atrito no campo gravitacional a partir do repouso em linha reta de uma altura h.

   Ao atingir o solo ela inverte instantaneamente sua velocidade, sem qualquer perda.

   1. Partindo da segunda Lei de Newton, escreva um sistema de equações diferenciais de primeira ordem que descreva a primeira queda.
   2. Faça um gráfico do espaço de fases desse sistema incluindo agora a reflexão no solo e a volta a posição inicial.
6. O modelo de Hindmarsh-rose descreve o potencial de membrana ($x$) de um neurônio excitado por uma corrente I. ${\frac {dx}{dt}}=y+ax^{2}-bx^{3}-z+I,\;\;{\frac {dy}{dt}}=1-bx^{2}-y,\;\;{\frac {dz}{dt}}=r[s(x-x_{R})-z].$ Classifique esse sistema quando a conservação ou não do volume no espaço de fases.
7. Encontre as soluções de equilíbrio para a equação, ${\frac {dx}{dt}}=-(x^{2}-4)$. Mostre que se aplica o teorema da unicidade e aplique-o para discutir a estabilidade dos pontos de equilíbrio.
8. Discuta a estabilidade dos pontos fixos do pêndulo.
9. No caso do pêndulo com dissipação, explique o cruzamento de linhas na origem do espaço de fases.
10. Resolva os problemas 4.17,4.18, 4.19, 4.21, 4.25, 4.27 da segunda edição do livro texto da disciplina.
11. Encontre a matriz de Jordan para o sistema:${\frac {dx}{dt}}=x-y,\;\;{\frac {dy}{dt}}=-z,\;\;{\frac {dz}{dt}}=y.\;\;$ Escreva a solução para $x(0)=0;y(0)=1;z(0)=2.$

Lista II

1. Resolva os problemas 6.8, 6.9, 6.10, 6.12, 6.14, 6.15, 6.17, 6.18, 6.20, 6.23, 6.33, 6.39, 7.6, 7.8, 8.1, 8.2, 8.3, 8.4, 8.5, 8.6, 8.8, 8.11, 8.11, 8.12, 8.13, 8.19, 8.20, 8.21, 8.22, 10.1, 10.2, 103 do livro texto do curso (II edição).
2. Estude a resolução dos exemplos 10.1, 10.2, 10.3, 10.4.