MBA: Gás simples

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Colisão entre partículas

Considerando um modelo simples de gás ideal, não há força atuando sob as partículas, então a interação que ocorre entre as partículas se dá apenas por meio de colisões. Assim é necessário calcular a variação na velocidade de cada partícula após a colisão. Começando em uma dimensão, precisamos garantir a conservação do momento:

$$m_{1}v_{1}'+m_{2}v_{2}'=m_{1}v_{1}''+m_{2}v_{2}''$$

E da energia cinética:

$${\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}'^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}'^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}''^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}''^{2}$$

Colocando o referencial de forma que ${\textstyle v_{2}'=0}$, então as velocidades no novo referencial podem ser escritas como ${\textstyle u_{i}=v_{i}-v_{2}'}$, de forma que da conservação do momento ficamos com:

$$u_{1}''=u_{1}'-{\frac {m_{2}}{m_{1}}}u_{2}'',\qquad (1)$$

Elevando ao quadrado:

$$u_{1}''^{2}=u_{1}'^{2}-\left({\frac {m_{2}}{m_{1}}}\right)^{2}u_{2}''^{2}-2{\frac {m_{2}}{m_{1}}}u_{1}'u_{2}''$$

Substituindo na equação de conservação de energia, podemos encontrar ${\textstyle u_{2}''}$:

$${\begin{array}{c}m_{1}u_{1}'^{2}=m_{1}u_{1}''^{2}+m_{2}u_{2}''^{2}\\m_{1}u_{1}'^{2}=m_{1}\left[u_{1}'{}^{2}+\left({\frac {m_{2}}{m_{1}}}\right)^{2}u_{2}''^{2}-2{\frac {m_{2}}{m_{1}}}u_{1}'u_{2}''\right]+m_{2}u_{2}''^{2}\\m_{1}u_{1}'^{2}=m_{1}u_{1}'{}^{2}+{\frac {m_{2}^{2}}{m_{1}}}u_{2}''^{2}-2m_{2}u_{1}'u_{2}''+m_{2}u_{2}''^{2}\\0=\left({\frac {m_{2}^{2}}{m_{1}}}+m_{2}\right)u_{2}''^{2}+\left(-2m_{2}u_{1}'\right)u_{2}''\\0=\left({\frac {m_{2}+m_{1}}{m_{1}}}\right)u_{2}''^{2}+\left(-2u_{1}'\right)u_{2}''\end{array}}$$

Calculando as raízes do segundo grau, temos:

$$u_{2}''={\frac {2u_{1}'\pm {\sqrt {4u_{1}'^{2}}}}{2\left({\frac {m_{2}+m_{1}}{m_{1}}}\right)}}={\frac {m_{1}}{m_{2}+m_{1}}}\left(u_{1}'\pm u_{1}'\right)$$

E como uma solução é ${\textstyle u_{2}'=0}$, mas queremos a situação em que ${\textstyle u_{2}'\neq 0}$, logo:

$$u_{2}''={\frac {2m_{1}}{m_{2}+m_{1}}}u_{1}'$$

Substituindo em (1), temos:

$${\begin{array}{c}u_{1}''=u_{1}'-{\frac {m_{2}}{m_{1}}}\left({\frac {2m_{1}}{m_{2}+m_{1}}}u_{1}'\right)\\u_{1}''=\left(1-{\frac {2m_{2}}{m_{2}+m_{1}}}\right)u_{1}\\u_{1}''=\left({\frac {m_{2}+m_{1}-2m_{2}}{m_{2}+m_{1}}}\right)u_{1}\end{array}}$$

Ou seja:

$$u_{1}''={\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{2}+m_{1}}}u_{1}'$$

Retornando ao referencial original, sendo ${\textstyle v_{i}=u_{i}+v_{2}'}$, temos então para ${\textstyle v_{1}'}$:

$${\begin{array}{c}u_{1}''={\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{2}+m_{1}}}u_{1}'\\v_{1}''-v_{2}'={\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{2}+m_{1}}}\left(v_{1}'-v_{2}'\right)\\v_{1}''={\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{2}+m_{1}}}v_{1}'+\left(1-{\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{2}+m_{1}}}\right)v_{2}'\\v_{1}''={\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{2}+m_{1}}}v_{1}'+{\frac {2m_{2}}{m_{2}+m_{1}}}v_{2}'\end{array}}$$

E de maneira análoga para ${\textstyle v_{2}'}$:

$${\begin{array}{c}u_{2}''={\frac {2m_{1}}{m_{2}+m_{1}}}u_{1}'\\v_{2}''-v_{2}'={\frac {2m_{1}}{m_{2}+m_{1}}}\left(v_{1}'-v_{2}'\right)\\v_{2}''={\frac {2m_{1}}{m_{2}+m_{1}}}v_{1}'+\left(1-{\frac {2m_{1}}{m_{2}+m_{1}}}\right)v_{2}'\\v_{2}''={\frac {2m_{1}}{m_{2}+m_{1}}}v_{1}'+{\frac {m_{2}-m_{1}}{m_{2}+m_{1}}}v_{2}'\end{array}}$$

Um caso especial ocorre se ${\textstyle m_{1}=m_{2},\qquad (2)}$ então temos simplesmente:

$$v_{1}''=v_{2}',\qquad {\text{e}}\qquad v_{2}''=v_{1}'$$

Em duas dimensões, podemos reduzir o problema a uma dimensão, considerando que toda a alteração na velocidade devido a colisão entre partículas ocorre apenas na componente paralela a reta que liga o centro das duas esferas. Considerando que a posição de cada partícula é dada por ${\textstyle {\overrightarrow {r}}_{i}}$, então um vetor entre as partículas pode ser escrito como ${\textstyle {\overrightarrow {d}}={\overrightarrow {r}}_{2}-{\overrightarrow {r}}_{1}}$. Podemos projetar ambas as velocidades então fazendo:

$${u}_{i}'={\frac {{\overrightarrow {v}}_{i}\cdot {\overrightarrow {d}}}{\left|{\overrightarrow {d}}\right|}}={\overrightarrow {v}}_{i}\cdot {\widehat {d}}$$

Obtemos o módulo da velocidade da partícula ${\textstyle i}$ na direção ${\textstyle {\overrightarrow {d}}}$ e podemos trabalhar em uma única dimensão para encontrarmos a velocidade de ambas partículas após a colisão nesta dimensão. Ao fim podemos decompor novamente a velocidade final ${\textstyle u_{i}''}$ em ambos os eixos mantendo a mesma direção utilizando ${\textstyle \theta =\arctan \left({\frac {\Delta {y}}{\Delta x}}\right)}$, onde ${\textstyle \Delta z=z_{2}-z_{1}}$ é a diferença entre a posição das partículas ${\textstyle 2}$ e ${\textstyle 1}$ na componente ${\textstyle z}$.

Além disso vale lembrar que há a componente da velocidade perpendicular a ${\textstyle {\overrightarrow {d}}}$, que vamos denotar como ${\textstyle {\overrightarrow {w}}_{i}={\overrightarrow {v}}_{i}-u_{i}'\left(\cos \theta ,\sin \theta \right)}$. Esta componente perpendicular permanece inalterada e pode ser visualizada na figura ao lado.

Colisão entre duas partículas mostrando explicitamente os vetores relacionados à partícula 1.

Sendo assim, a velocidade final é dada por:

$${\begin{array}{c}{\overrightarrow {v}}_{i}^{\left(f\right)}=\left(u_{i}''\cos \theta ,u_{i}''\sin \theta \right)+{\overrightarrow {w}}_{i}\\{\overrightarrow {v}}_{i}^{\left(f\right)}=u_{i}''\left(\cos \theta ,\sin \theta \right)+{\overrightarrow {v}}_{i}-u_{i}'\left(\cos \theta ,\sin \theta \right)\\{\overrightarrow {v}}_{i}^{\left(f\right)}={\overrightarrow {v}}_{i}+\left(u_{i}''-u_{i}'\right)\left(\cos \theta ,\sin \theta \right)\\{\overrightarrow {v}}_{i}^{\left(f\right)}={\overrightarrow {v}}_{i}^{\left(f\right)}={\overrightarrow {v}}_{i}+\left(u_{i}''-u_{i}'\right){\overrightarrow {a}}\end{array}}$$

Onde ${\textstyle {\overrightarrow {a}}}$ é um vetor unitário que nos dá a direção entre os centros das partículas. Utilizando ad identidades:

$$\cos \left(\arctan \left(x\right)\right)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad \sin \left(\arctan \left(x\right)\right)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$$

ficamos então com:

$${\begin{array}{c}{\overrightarrow {a}}=\left(\cos \theta ,\sin \theta \right)\\{\overrightarrow {a}}=\left(\cos \arctan \left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right),\sin \arctan \left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right)\right)\\{\overrightarrow {a}}=\left({\frac {1}{\sqrt {1+\left({\frac {\Delta {y}}{\Delta x}}\right)^{2}}}},{\frac {\left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right)}{\sqrt {1+\left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right)^{2}}}}\right)\\{\overrightarrow {a}}={\frac {1}{\Delta x}}{\frac {1}{\sqrt {1+\left({\frac {\Delta {y}}{\Delta x}}\right)^{2}}}}\left(\Delta x,\Delta y\right)\\{\overrightarrow {a}}={\frac {1}{\frac {\Delta x}{\Delta x}}}{\frac {1}{\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}}\left(\Delta x,\Delta y\right)\end{array}}$$

Logo:

$${\overrightarrow {a}}={\frac {\left(\Delta x,\Delta y\right)}{\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}}$$

E uma vez que ${\textstyle {\overrightarrow {d}}={\overrightarrow {r}}_{2}-{\overrightarrow {r}}_{1}=\left(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1}\right)=\left(\Delta x,\Delta y\right)}$, então ${\textstyle {\overrightarrow {a}}={\overrightarrow {d}}/\left|d\right|={\widehat {d}}}$. Logo:

$${\overrightarrow {v}}_{i}^{\left(f\right)}={\overrightarrow {v}}_{i}+\left(u_{i}''-u_{i}'\right){\widehat {d}}$$

Ou ainda mais explícito, se fizermos ${\textstyle m_{1}=m_{2}}$, sendo as partículas ${\textstyle i}$ e ${\textstyle j}$, onde ${\textstyle i\neq j}$, usando (2):

$${\begin{array}{cc}{\overrightarrow {v}}_{i}^{\left(f\right)}&={\overrightarrow {v}}_{i}+\left(u_{j}'-u_{i}'\right){\widehat {d}}\\{\overrightarrow {v}}_{i}^{\left(f\right)}&={\overrightarrow {v}}_{i}+\left({\overrightarrow {v}}_{j}\cdot {\widehat {d}}-{\overrightarrow {v}}_{i}\cdot {\widehat {d}}\right){\widehat {d}}\end{array}}$$

Temos então que:

$${\overrightarrow {v}}_{i}^{\left(f\right)}={\overrightarrow {v}}_{i}+\left[\left({\overrightarrow {v}}_{j}-{\overrightarrow {v}}_{i}\right)\cdot {\widehat {d}}\right]{\widehat {d}}$$

Todo o cálculo exibido foi para uma partícula, para a segunda partícula, o cálculo é análogo.

Código

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