Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou

Grupo: Paula Pandolfo, Ramiro de Souza, Samuel Dieterich e Wallace Carvalho

Objetivo: Este trabalho tem dois objetivos principais: apresentar alguns resultados analíticos de osciladores lineares acoplados, comparando esses resultados com simulações computacionais; e implementar o modelo de osciladores acoplados com a adição de um termo quadrático, conforme inicialmente apresentado pelo artigo original do problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (FPUT), analisando os resultados. Apresentaremos algumas simulações dos casos bidimensionais, mas as análises de resultados serão restritas aos casos unidimensionais, por simplicidade. Inicialmente será introduzido o formalismo de oscilações acopladas lineares. [falta complementar]

Introdução

Os osciladores são talvez os sistemas mais estudados na Física, sendo capazes de modelar uma ampla gama de fenômenos, como, p. ex., pêndulos, circuitos eletrônicos, interações moleculares. O comportamento linear desses sistemas, em particular, possui resultados analíticos bem conhecidos.

O problema de FPUT (Enrico Fermi, John R. Pasta, Stanislaw M. Ulam, Mary Tsingou) resulta da análise computacional de um sistema de partículas que apenas interagem com seus vizinhos, com interações modeladas por oscilações acopladas com a adição de um termo não-linear, que pode ser quadrático ou cúbico. O intuito original da simulação era estudar como esse sistema evolui para o equilíbrio térmico. Se as forças fossem estritamente lineares, a energia alocada em cada modo de vibração não se distribuiria entre os demais modos, ou seja, não se atingiria o equilíbrio térmico. Entretanto, com a adição dos termos não lineares, pelo Teorema da Equipartição da Energia, supunha-se que, após um certo tempo, a energia total do sistema seria distribuída uniformemente entre os modos normais de vibração, o que significaria que o sistema teria atingido o equilíbrio térmico. Entretanto, isso não foi observado.

O caso foi estudado pela primeira vez em Los Alamos, nos Estados Unidos, e implementado no computador MANIAC I (Mathematical Analyzer Numerical Integrator and Automatic Computer Model I). Além dos três participantes coautores do artigo que relatou o caso em 1955, Mary Tsingou implementou o código e resolveu numericamente o sistema. Atualmente, por essa razão, o paradoxo é denominado pela sigla FPUT (Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou).

A abordagem adotada no presente trabalho é a seguinte: inicialmente, serão apresentados alguns resultados teóricos bem conhecidos de osciladores lineares acoplados. A seguir, compararemos esses resultados com simulações computacionais. [falta complementar]

Osciladores Lineares Acoplados

Um modelo geral de sistema unidimensional de osciladores lineares acoplados é ilustrado pela Figura 1. Para fins de simplificação do problema, estamos considerando que todas as massas e constantes das molas são iguais, mas esse não precisaria ser o caso.

Figura 1. Ilustração de um modelo geral unidimensional de oscilações acopladas. A figura foi criada por Paula Pandolfo, uma das integrantes do grupo.

Cada partícula possui duas vizinhas, com as quais interage por meio das molas, exceto as partículas localizadas nos extremos da cadeia, que possuem apenas uma partícula vizinha cada. As interações das partículas dos extremos das cadeias se restringem, portanto, à interação com uma vizinha e com uma mola conectada a uma das paredes externas à cadeia. A posição de cada partícula pode ser descrita por um grau de liberdade associado ao deslocamento em relação à respectiva posição de equilíbrio. No total, um sistema com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} partículas terá, portanto, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} graus de liberdade. Vamos tratar aqui o caso em que as forças das molas são lineares, i.e., dadas por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F=-kx} .

N=2

Vamos inicialmente considerar o caso do oscilador linear acoplado mais simples, com duas partículas (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N=2} ), cada uma com massa Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} , e três molas com os mesmos valores de constantes, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} .

As equações de movimento do sistema são:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} m\ddot{x}_{1} &= -kx_{1} - k(x_{1}-x_{2}) \\ m\ddot{x}_{2} &= -kx_{2} - k(x_{2}-x_{1}) \quad (1)\\ \end{align}}

Uma forma direta de se montar as equações de movimento de um sistema acoplado é pensar em termos dos deslocamentos em relação às posições de equilíbrio (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{i}} , com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i=1,2} , no sistema considerado aqui). Por exemplo, na primeira das equações acima, a partícula 1 está sujeita à força elástica da mola conectada à parede (termo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -kx_{1}} ) e à força da mola conectada à partícula 2 (termo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -k(x_{1}-x_{2}} ). Esse último termo é definido conforme o seguinte: caso a mola que está conectada às partículas 1 e 2 esteja comprimida, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{1}} deve ser maior que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{2}} (definindo os Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{i}} como deslocamentos em relação à posição de equilíbrio positivos para a direita e negativos para a esquerda) e a partícula 1 estará sofrendo uma força que é contrária à compressão, ou seja, com sinal negativo. De modo semelhante para a partícula 2, mas nesse caso, devido à posição ocupada pela partícula 2 na cadeia, com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{1}} maior que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{2}} , o sentido da força contrária à compressão tem sinal positivo.

Uma dificuldade imposta para a resolução do sistema (1) é o fato das equações serem acopladas: note-se que a aceleração da partícula 1 depende da posição da partícula 2, e vice-versa. Vamos supor que esse sistema de equações tenha soluções nas formas (com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{1}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{2}} constantes):

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} x_{1}(t) &= A_{1}e^{-i\omega t} \\ x_{2}(t) &= A_{2}e^{-i\omega t} \quad (2) \end{align} }

Essa suposição é fisicamente justificável: sabemos que as soluções são oscilatórias, e exponenciais imaginárias podem ser escritas em termos de senos e cossenos pela fórmula de Euler. Se substituirmos a equação (2) na equação (1) e rearranjarmos os termos, obtemos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} -mw^{2}A_{1}e^{-i\omega t} + 2kA_{1}e^{-i\omega t} -kA_{1}e^{-i\omega t} &= 0 \\ -mw^{2}A_{2}e^{-i\omega t} + 2kA_{2}e^{-i\omega t} -kA_{2}e^{-i\omega t} &= 0 \\ \end{align}}

Ou, eliminando as exponenciais e reagrupando termos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} (2k-mw^{2})&A_{1} &-kA_{2} &= 0 \\ -k&A_{1} &+(2k-mw^{2})A_{2} &= 0 \quad (3)\\ \end{align}}

O sistema de equações (3) apenas terá soluções não triviais se o determinante dos coeficientes dos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{i}} for igual a zero, i.e.:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{vmatrix} (2k-mw^{2}) & -k \\ -k & (2k-mw^{2}) \end{vmatrix} = 0 }

As soluções da equação acima podem ser facilmente obtidas e resultam de uma equação quadrática simples, apresentaremos apenas o resultado:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \omega_{1} = \sqrt{\frac{k}{m}} \quad \quad \omega_{2} = \sqrt{\frac{3k}{m}} \quad (4) \end{align} }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_{1}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_{2}} são as frequências características ou autofrequências do sistema. As soluções mais gerais do sistema de equações diferenciais lineares (1) vão ser então combinações lineares das soluções (2) com as frequências dadas por (4):

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} x_{1}(t) = a_{1}^{1}e^{-i\omega_{1} t} + a_{1}^{2}e^{-i\omega_{2} t} &= \sum_{k}a_{1}^{k}e^{-i\omega_{k}t}\\ x_{2}(t) = a_{2}^{1}e^{-i\omega_{1} t} + a_{2}^{2}e^{-i\omega_{2} t} &= \sum_{k}a_{2}^{k}e^{-i\omega_{k}t}\quad (5) \end{align} }

Programa

• Código em C e scripts para FPUT com deslocamento vertical

Script do Gnuplot para gerar as imagens.

# Reset previously sessions
reset

# Data input
file = "../data/output.dat"

# Statistics about the data
stats file name "A"

# Set range of plots
set xrange [A_min_x:A_max_x]    # x-axis
set yrange [-1.2:1.2]           # y-axis

# Customize the output 
set term pngcairo size 800, 600 enhanced font "Arial,10" fontscale 1.0

# Title and labels
set title "FPUT - Descolamento vertical" font "Oswald,18"
set xlabel "Posição (x)" font ",12"
set ylabel "Altura (y)" font ",12"

# Total number of frames
tmax = int(A_blocks-1)

# Text position in y
text_y = (A_max_x-A_min_x)*0.05

# Loop
do for [i=0:tmax] {  
    # Print: current_frame total_frame
    print i,tmax
    # Output file format
    outfile = sprintf("../img/".dir."/fput%d.png", i)
    set output outfile
    # Time
    unset label
    set label "Iteração: ".i at text_y, 1 font ",10"
    # Plot
    plot file index i with points pt 7 ps 2 lc rgb 'black' notitle
    }

Script para automatizar a criação dos vídeos.

#!/bin/bash

# Run all the scripts
# Compile the C code -> Run the executable -> Run the gnuplot script -> Create the video file from the images on the img folder

name=$(date +%s)

gcc -lm fput.c 
./a.out
mkdir -p ../img/$name
gnuplot -e "dir='$name'" graph.plt
mkdir -p video
ffmpeg -r 120 -i ../img/$name/fput%d.png -vcodec libx264 -crf 25 -pix_fmt yuv420p ../video/output-$name.mp4

Bibliografia principal

• Stephen T. Thornton, Jerry B. Marion, "Classical Dynamics of Particles and Systems". Thomson Learning, Belmont, 2004.
• Giordano, N.J., Nakanishi, H. "Computational Physics". 2nd Edition. Prentice Hall, Upper Saddle River, 2006.