Modelo Brusselator de Reação-Difusão

Grupo: Carolina Lenzi, Eric Naiber e Vitória Xavier

O objetivo deste trabalho é implementar o modelo de reação-difusão Brusselator em duas dimensões, frequentemente utilizado para estudar sistemas complexos químicos e biológicos. O modelo é um sistema não linear de equações diferenciais parciais e foi proposto em 1970 por Ilya Prigogine e seus colaboradores da Universidade Livre de Bruxelas. Desde então tem sido aplicado para analisar reações oscilatórias e autocatalíticas. O método computacional utilizado para implementar o modelo foi o método FTCS (Forward Time Centered Space).

Modelo de Brusselator

O estudo de sistemas químicos e biológicos frequentemente requer o uso de modelos que caracterizem reações de reação-difusão.

(...)

Método FTCS

O FTCS (Forward Time Centered Space) é um método de diferença finita que utiliza a derivada à direita ("para frente") no tempo e a derivada segunda centralizada no espaço para discretizar as variáveis. As derivadas no tempo e no espaço bidimensional ficam:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial f(x, y, t)}{\partial t} \to \frac{f(x, y, t + \Delta t) - f(x, y, t)}{\Delta t} + \mathcal{O}(\Delta t ^2) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2 f(x, y, t)}{\partial x^2} \to \frac{f(x-\Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x+\Delta x, y, t)}{(\Delta x)^2} + \mathcal{O}(\Delta x ^3) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2 f(x, y, t)}{\partial y^2} \to \frac{f(x, y-\Delta y, t) - 2f(x, y, t) + f(x, y+\Delta y, t)}{(\Delta y)^2} + \mathcal{O}(\Delta y ^3) }

Substituindo nas equações do Brusselator

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{u(x, y, t + \Delta t) - u(x, y, t)}{\Delta t} = f(u, v) + D_u \left( \frac{u(x-\Delta x, y, t) - 2u(x, y, t) + u(x+\Delta x, y, t)}{(\Delta x)^2} + \frac{u(x, y-\Delta y, t) - 2u(x, y, t) + u(x, y+\Delta y, t)}{(\Delta y)^2} \right) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{v(x, y, t + \Delta t) - v(x, y, t)}{\Delta t} = g(u, v) + D_v \left( \frac{v(x-\Delta x, y, t) - 2v(x, y, t) + v(x+\Delta x, y, t)}{(\Delta x)^2} + \frac{v(x, y-\Delta y, t) - 2v(x, y, t) + v(x, y+\Delta y, t)}{(\Delta y)^2} \right) }

onde $f(u,v)$ e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(u, v)} são as funções que representam a reação sem difusão.

Utilizamos discretização do tipo

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t = 0, 1\Delta t, 2\Delta t, 3\Delta t, ..., t_{max}}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = 0, 1\Delta x, 2\Delta x, 3\Delta x, ..., N_x}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y = 0, 1\Delta y, 2\Delta y, 3\Delta y, ..., N_y}

Utilizando a notação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(i\Delta x, j\Delta y, n\Delta t) = f_{i,j}^n} , assumindo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x = \Delta y = \Delta s} e rearranjando os termos, reescrevemos as equações como

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{i,j}^{n+1} = u_{i, j}^n + f(u_{i,j}^n, v_{i, j}^n)\Delta t + K_u (u_{i-1, j}^n + u_{i+1, j}^n + u_{i, j-1}^n + u_{i, j+1}^n - 4 u_{i, j}^n) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_{i,j}^{n+1} = v_{i, j}^n + g(u_{i,j}^n, v_{i, j}^n)\Delta t + K_v (v_{i-1, j}^n + v_{i+1, j}^n + v_{i, j-1}^n + v_{i, j+1}^n - 4 v_{i, j}^n) }

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K_u = \frac{D_u \Delta t}{(\Delta s)^2}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K_v = \frac{D_v \Delta t}{(\Delta s)^2}} .