Teste2

Resolução Analítica

Equação da difusão

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\partial f \over \partial t} = {\partial^2 f \over \partial x^2}}

Separação de variáveis: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x,t) = h(x)g(t)}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{aligned} hg^{\prime} &=& h^{\prime\prime} g \\ \frac{g^{\prime}}{g} &=& \frac{h^{\prime\prime}}{h} \end{aligned}}

como um lado só depende de x e o outro só depende de t.

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{aligned} g = -k^2g \ &\to& \ g(t) = e^{-k^2t} \\ h^{\prime\prime} + k^2 \, h = 0 &\to& \ h(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx)\end{aligned}}

A função

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{aligned} u(x,t) = e^{-k^2t} \sin(kx)\end{aligned}}

é solução da equação de difusão para qualquer k. Para satisfazer as condições de contorno Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(0,t) = 0} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(1,t) = 0 \Rightarrow k = m\pi} . Como qualquer uma das funções Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin(m\pi x)} será solução, a sua superposição (linear) também o será:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{aligned} u(x,t) = \sum_{m=1}^\infty a_m.e^{-(m\pi)^2t} sen(m\pi x)\end{aligned}}

onde a condição inicial é dada por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(x,0) = u^0(x)} . Se o intervalo em questão for de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0} até Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} , troca-se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m\pi} por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m\pi/L} com a finalidade de satisfazer as condições de contorno:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{aligned} {\left \{ \begin{matrix} u^0(x) = \sum_{m=1}^\infty a_m sen(m\pi x) \\ a_m = 2\int_0^1 u^0(x) sen(m\pi x) dx \end{matrix} \right.} %\end{equation}\end{aligned}}

Pergunta computacional prática:

• Como calcular todos os termos da série e como realizar a integração para obter os coeficientes?

Teste da solução analítica:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{aligned} u(x,t) &=& \sum_{m=1}^\infty a_m.e^{-(m\pi)^2t} \sin(\pi x) \\ {\partial u \over \partial t} &=& \sum_{m=1}^\infty -(m\pi)^2 a_m . e^{-(m\pi)^2t}sen(kx) \\ {\partial u \over \partial x} &=& \sum_{m=1}^\infty m\pi a_m . e^{-(m\pi)^2t} cos(kx) \\ {\partial^2 u \over \partial x^2} &=& \sum_{m=1}^\infty -(m\pi)^2a_m.e^{-(m\pi)^2t} \\ u(0,t) &=& \sum_{m=1}^\infty \ ...\ sen(\pi 0) = 0 \\ u(1,t) &=& \sum_{m=1}^\infty \ ...\ sen(m\pi) = 0 \mbox{ para } m=0,1,2,...\end{aligned}}

A condição inicial é satisfeita pela própria definição utilizada.

• Podes colocar algum exemplo de cálculo de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u^0(x)}