Teste2

Resolução Analítica

Equação da difusão

$\frac{\partial f}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}$

Separação de variáveis: $f(x,t)=h(x)g(t)$

$\begin{array}{rlr}h{g}^{\prime }& =& h^{\prime \prime }g\\ \frac{g^{\prime }}{g}& =& \frac{h^{\prime \prime }}{h}\end{array}$

como um lado só depende de x e o outro só depende de t.

$\begin{array}{rlr}g=-k^{2}g& \to & g(t)=e^{-k^{2}t}\\ h^{\prime \prime }+k^{2}h=0& \to & h(x)=A\sin (kx)+B\cos (kx)\end{array}$

A função

$\begin{array}{r}u(x,t)=e^{-k^{2}t}\sin (kx)\end{array}$

é solução da equação de difusão para qualquer k. Para satisfazer as condições de contorno $u(0,t)=0$ e $u(1,t)=0\Rightarrow k=m\pi$. Como qualquer uma das funções $\sin (m\pi x)$ será solução, a sua superposição (linear) também o será:

$\begin{array}{r}u(x,t)=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_m.e^{-(m\pi {)}^{2}t}sen(m\pi x)\end{array}$

onde a condição inicial é dada por $u(x,0)=u^0(x)$. Se o intervalo em questão for de $0$ até $L$, troca-se $m\pi$ por $m\pi /L$ com a finalidade de satisfazer as condições de contorno:

$$

Pergunta computacional prática:

• Como calcular todos os termos da série e como realizar a integração para obter os coeficientes?

Teste da solução analítica:

$\begin{array}{rlr}u(x,t)& =& \sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_m.e^{-(m\pi {)}^{2}t}\sin (\pi x)\\ \frac{\partial u}{\partial t}& =& \sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}-(m\pi {)}^2{a}_m.e^{-(m\pi {)}^{2}t}sen(kx)\\ \frac{\partial u}{\partial x}& =& \sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}m\pi a_m.e^{-(m\pi {)}^{2}t}cos(kx)\\ \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}& =& \sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}-(m\pi {)}^2{a}_m.e^{-(m\pi {)}^{2}t}\\ u(0,t)& =& \sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}...sen(\pi 0)=0\\ u(1,t)& =& \sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}...sen(m\pi )=0\text{ para }m=0,1,2,...\end{array}$

A condição inicial é satisfeita pela própria definição utilizada.

• Podes colocar algum exemplo de cálculo de $u^0(x)$