Método de Verlet

Para o método de Euler implícito havíamos utilizado a derivada a esquerda:

$$f'\left(t\right)\approx {\frac {f\left(t\right)-f\left(t-\Delta t\right)}{\Delta t}}$$

Então se ${\textstyle y\left(t\right)=f'\left(t\right)}$ a segunda derivada é ${\textstyle y'\left(t\right)=f''\left(t\right)}$, pela definição, da derivada a direita:

$$y'\left(t\right)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {y\left(t+\Delta t\right)-y\left(t\right)}{\Delta t}}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {f'\left(t+\Delta t\right)-f'\left(t\right)}{\Delta t}}$$

Logo utilizando as aproximações:

$${\begin{aligned}f''\left(t\right)&\approx {\frac {1}{\Delta t}}\left(f'\left(t+\Delta t\right)-f'\left(t\right)\right)\\&\approx {\frac {1}{\Delta t}}\left({\frac {f\left(t+\Delta t\right)-f\left(t+\Delta t-\Delta t\right)}{\Delta t}}-{\frac {f\left(t\right)-f\left(t-\Delta t\right)}{\Delta t}}\right)\\&\approx {\frac {f\left(t+\Delta t\right)+f\left(t-\Delta t\right)-2f\left(t\right)}{\left(\Delta t\right)^{2}}}\end{aligned}}$$

Isolando então ${\textstyle f\left(t+\Delta t\right)}$:

$${\begin{aligned}f\left(t+\Delta t\right)&=\left(\Delta t\right)^{2}f''\left(t\right)-f\left(t-\Delta t\right)+2f\left(t\right)\end{aligned}}$$

Temos o método de Verlet. Podemos notar que precisamos conhecer ${\textstyle f\left(t\right)}$ em dois tempos anteriores. Podemos utilizar outro algoritmo para o primeiro passo. Se ${\textstyle f\left(t\right)=x\left(t\right)}$ é posição, então ${\textstyle f''\left(t\right)={\ddot {x}}\left(t\right)=a\left(x,t\right)}$ logo podemos reescrever:

$${\begin{aligned}x\left(t+\Delta t\right)&=a\left(x,t\right)\left(\Delta t\right)^{2}-x\left(t-\Delta t\right)+2x\left(t\right)\end{aligned}}$$

Para calcular a energia, podemos obter a velocidade então utilizando a derivada centrada:

$$v\left(t\right)={\dot {x}}\left(t\right)={\frac {x\left(t+\Delta t\right)-x\left(t-\Delta t\right)}{2\Delta t}}$$

Alternativamente podemos obter o mesmo resultado em termos da expansão de Taylor:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} x\left(t+\Delta t\right) & =x\left(t\right)+v\left(t\right)\Delta t+\frac{1}{2}a\left(t\right)\Delta t^{2}+\frac{1}{6}a'\left(t\right)\Delta t^{3}+\dots\\ x\left(t-\Delta t\right) & =x\left(t\right)-v\left(t\right)\Delta t+\frac{1}{2}a\left(t\right)\Delta t^{2}-\frac{1}{6}a'\left(t\right)\Delta t^{3}+\dots\end{align}}

Somando os dois termos, ficamos então com:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\left(t+\Delta t\right)+x\left(t-\Delta t\right)=2x\left(t\right)+a\left(t\right)\Delta t^{2}+\mathcal{O}\left(\Delta t^{4}\right)}

Obtemos então não só o algoritmo de Verlet, além de que sabemos que é uma expansão até a terceir ordem. Então o erro envolvido na truncação é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \mathcal{O}\left(\Delta t^{4}\right)} , e este é o erro local, associao a um único passo.

Além disso, se fizermos a diferença, obtemos o algoritmo da velocidade:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\left(t+\Delta t\right)+x\left(t-\Delta t\right)=2v\left(t\right)+\frac{1}{3}a'\left(t\right)\Delta t^{3}}

Então:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v\left(t\right)=\frac{x\left(t+\Delta t\right)+x\left(t-\Delta t\right)}{\Delta t}-\frac{1}{3}a'\left(t\right)\Delta t^{2}}

Logo temos um erro Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \mathcal{O}\left(\Delta t^{2}\right)} na velocidade. Além do erro de truncação associado ao método de dierenças finita e que decai com o decaimento de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \Delta t} , também podemos lembrar que um erro de arredondamento, pois o computador usa uma quantidade finita de memória para representar os números. Isto, é, existe um número Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \epsilon} em que para qualquer número Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \alpha\leq\epsilon} então Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle 1+\alpha=1} . Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \epsilon} é o maior número que pode ser somado a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle 1} sem alterar o resultado.

Principais materiais utilizados

1. The Second Derivative (Matthew Boelkins, David Austin & Steven Schlicker; LibreTexts)