Método de Verlet

Para o método de Euler implícito havíamos utilizado a derivada a esquerda:

$$f'\left(t\right)\approx {\frac {f\left(t\right)-f\left(t-\Delta t\right)}{\Delta t}}$$

Então se ${\textstyle y\left(t\right)=f'\left(t\right)}$ a segunda derivada é ${\textstyle y'\left(t\right)=f''\left(t\right)}$, pela definição, da derivada a direita:

$$y'\left(t\right)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {y\left(t+\Delta t\right)-y\left(t\right)}{\Delta t}}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {f'\left(t+\Delta t\right)-f'\left(t\right)}{\Delta t}}$$

Logo utilizando as aproximações:

$${\begin{aligned}f''\left(t\right)&\approx {\frac {1}{\Delta t}}\left(f'\left(t+\Delta t\right)-f'\left(t\right)\right)\\&\approx {\frac {1}{\Delta t}}\left({\frac {f\left(t+\Delta t\right)-f\left(t+\Delta t-\Delta t\right)}{\Delta t}}-{\frac {f\left(t\right)-f\left(t-\Delta t\right)}{\Delta t}}\right)\\&\approx {\frac {f\left(t+\Delta t\right)+f\left(t-\Delta t\right)-2f\left(t\right)}{\left(\Delta t\right)^{2}}}\end{aligned}}$$

Isolando então ${\textstyle f\left(t+\Delta t\right)}$:

$${\begin{aligned}f\left(t+\Delta t\right)&=\left(\Delta t\right)^{2}f''\left(t\right)-f\left(t-\Delta t\right)+2f\left(t\right)\end{aligned}}$$

Temos o método de Verlet. Podemos notar que precisamos conhecer ${\textstyle f\left(t\right)}$ em dois tempos anteriores. Podemos utilizar outro algoritmo para o primeiro passo. Se ${\textstyle f\left(t\right)=x\left(t\right)}$ é posição, então ${\textstyle f''\left(t\right)={\ddot {x}}\left(t\right)=a\left(x,t\right)}$ logo podemos reescrever:

$${\begin{aligned}x\left(t+\Delta t\right)&=a\left(x,t\right)\left(\Delta t\right)^{2}-x\left(t-\Delta t\right)+2x\left(t\right)\end{aligned}}$$

Para calcular a energia, podemos obter a velocidade então utilizando a derivada centrada:

$$v\left(t\right)={\dot {x}}\left(t\right)={\frac {x\left(t+\Delta t\right)-x\left(t-\Delta t\right)}{2\Delta t}}$$

Principais materiais utilizados

1. The Second Derivative (Matthew Boelkins, David Austin & Steven Schlicker; LibreTexts)