Modelos Epidemiológicos

Em construção

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo SIR e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics" ^[1] utilizando Monte Carlo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados.

Introdução

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo SIR e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics" ^[1] utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al ^[1] propõe que o indivíduo escolha fazer a quarentena dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha pela quarentena está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para realizar a simulação os autores utilizam a teoria de campo médio, obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha do indivíduo pela quarentena se dará de acordo com o estado do seus vizinhos mais próximos - utilizado o dilema do prisioneiro -, enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR tal como na referência citada. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção Modelo SIR com quarentena voluntária.

Modelos

Modelo SIR

Esquemáto modelo SIR

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia ^[2]. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

Susceptível (S): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

Infectado (I): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

Recuperado ou Removido (R): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro R recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estás quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferencias que descrevem a dinâmica de uma epidemia ^[2]:

${\frac {dS}{dt}}=-\beta IS\qquad (1)$

${\frac {dI}{dt}}=\beta IS-\gamma I\qquad (2)$

${\frac {dR}{dt}}=\gamma I\qquad (3)$

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita ^[3].

A população total no SIR é constante, e pode ser expressa pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos. Abaixo segue a expressão:

$S+I+R=N\qquad (4)$

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

$s+i+r=1\qquad (5)$

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável beta, está depende de outras duas variáveis. A primeira indica a "transmissibilidade", definida por Tau, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por "c barra". Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

$\beta =\tau {\bar {c}}\qquad (6)$

A taxa de remoção da doença, indicada por γ, é o inverso do período infeccioso, indicada por d, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

$d={\frac {1}{\gamma }}\qquad (7)$

Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução

O número básico de reprodução, $R_{0}$ , corresponde ao número médio de pessoas que serão contagiadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível ^[4].

$R_{0}={\frac {\beta }{\gamma }}S_{0}\qquad (8)$

Conforme o valor de $R_{0}$ temos o seguinte comportamento ^[4]:

$R_{0}>1\Rightarrow$ epidemia crescente;
$R_{0}=1\Rightarrow$ equilíbrio endêmico;
$R_{0}<1\Rightarrow$ epidemia decrescente.

Podemos interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando o comportamento da curva I(S), para obter essa função iremos dividir a expressão (2) pela expressão (1) e posteriormente integrar ambos os lados da igualdade, desta forma chegamos em:

$I(S)={\frac {\gamma }{\beta }}lnS-{\frac {\gamma }{\beta }}lnS_{0}-S+I_{0}+S_{0}\qquad (9)$

Derivando a expressão (9) em relação a S observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando S = γ/β. Nas situações em que temos S < γ/β e S > γ/β, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função I(S). Na sequência é plotada a curva I(S) para diferentes valores de $S_{0}$ . Observe que o sentido da abscissa S é negativo para o avanço da pandemia.

Figura

Quando a condição inicial $S_{0}$ está a direita da reta S = γ/β a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois $R_{0}$ é maior que um. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a γ/β, posteriormente o número de infectados irá decair. Já quando a condição inicial $S_{0}$ está a esquerda da reta S = γ/β a epidemia irá diminuir o seu número de infectados, pois $R_{0}$ é menor do que um.

Modelo SIR com quarentena voluntária

Esquemáto modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al ^[1]. Nele temos:

Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade $\phi _{S}$ para a escolha da quarentena ocorrer depende de quantos infectados há nos vizinhos.

Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes tem probabilidades diferentes de adquirir a doença ( $\beta _{Q}$ e $\beta _{N}$ ) e se tornar infectados.

Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-lá novamente.

Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados, modificando a escolha do vizinho, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo Dilema do Prisioneiro. Esse dilema descreve a situação onde dois condenados (A e B) precisam decidir se colaboram ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos 4 possibilidades: A e B colaboram (ambos saem com uma recompensa R), A colabora mas B não colabora (B ficaria com o valor da tentação T e A com o custo do sonso S), o caso contrário onde A não colabora e B colabora e A e B não colaboram (ambos ganham com uma penalidade P). ^[5]

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (matriz de payoff):

	A coopera	A não coopera
B coopera	R / R	S / T
B não coopera	T / S	P / P

Os valores da matriz payoff devem obedecer a ordem T > R > P > S. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que 2R > T + S. ^[5]

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente possui um ponto fixo. A partir disso, cada um desses componentes interagem com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). ^[5]

Segundo Hauert e Szabó ^[5], os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto é a formação de clusters de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente S se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

Implementação

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem C, para a visualização foi utilizada a linguagem Python.

Implementação modelo SIR

Talvezzzz: Usar essa Analytical solution of SIR-model ^[6] pra verificar se o código funciona

Implementação modelo SIR com quarentena voluntária

Algumas modificações são realizadas no código anterior: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a parte da escolha individual.

Inicialmente é definida a matriz de payoff, os parâmetros diferentes para indivíduos suscetíveis e os vetores que conterão os estados de quarentena.

A função do jogo (escolha pelo isolamento) é definido abaixo.

void jogo(int t){

    /*
    Dinâmica da escolha voluntária do quarentenado ou não
    */
	
    int sitio, i, j, k;
    double prob;
    double sums, sumv;
    int vizinho, dir;

    for (i=0;i<L2;i++){
	    
      sitio = FRANDOM * L2;
      dir = FRANDOM * 4 + 1;
      vizinho = viz[sitio][dir];
      sums = 0;
      sumv = 0;

      for(j=1 ; j < 5 ; j++) {
         sums += payoff[dmc_quarentena[sitio]][dmc_quarentena[viz[sitio][j]]];
         sumv += payoff[dmc_quarentena[vizinho]][dmc_quarentena[viz[vizinho][j]]];
      }
    
      prob = 1.0 / (1.0 + exp(-(sumv - sums) / TEMP ));
    
      if(FRANDOM > prob) {
      	dmc_quarentena[sitio] = dmc_quarentena[vizinho];
      }

    }

    // Escreve o estado de quarentena no arquivo, cada tempo uma linha

    FILE *dmcfile;
    char output2[10000];
    sprintf(output2, "output_dinamica_loc.txt");
    dmcfile = fopen(output2,"a");

    for(k=0; k<L2; k++){

      fprintf(dmcfile," %d ", dmc_quarentena[k]);

    }

    fprintf(dmcfile," \n ");
    fclose(dmcfile);

  return;
}

Visualização

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Graficos - Trabalho SIR e SIR modificado
"""

import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
import numpy as np
from matplotlib import animation

#%% Read data

data = pd.read_csv('./output.txt', 
                    sep=" ", index_col=False)  # sir x tempo
data.sort_values(by='t', ascending=True, inplace=True)

data.set_index('t', inplace=True)


data_j = pd.read_csv('./output_jogo.txt', 
                    sep=" ", index_col=False)  # sir x tempo
data_j.sort_values(by='t', ascending=True, inplace=True)

data_j.set_index('t', inplace=True)

data['total'] = data['r'] + data['i'] + data['s']

L2 = data['s'][0]


#%% SIR versus time

plt.title('Evolução temporal da doença')

data = data / L2  # normalização da população
# data_j = data_j / data_j['s'][0]  # normalização da população

plt.plot(data['r'], label='R')
plt.plot(data['s'], label='S')
plt.plot(data['i'], label='I')

# data_j = data_j / data_j['s'][0]  # normalização da população

# plt.plot(data_j['r'], label='R jogo')
# plt.plot(data_j['s'], label='S jogo')
# plt.plot(data_j['i'], label='I jogo')

plt.ylabel('Fração da população')
plt.xlabel('Tempo')

plt.grid()

plt.legend()
#%% Dinamica da quarentena voluntaria

dmc_loc = np.loadtxt('./dados/output_dinamica_loc.txt') # lê o arquivo
#%%
L = int(np.sqrt(np.shape(dmc_loc)[1]))

# forma uma malha LxL, pra poder plotar como se fosse x - y - z

x = y = np.arange(0, L, 1)

xv, yv = np.meshgrid(x, y)


def animate(i):
    plt.clf()  # limpa a figura, pra nao ficar sobrepondo figs

    # # titulos
    plt.suptitle('Evolução da dinâmica de quarentenados', fontsize=14)
    plt.title(f'Tempo: {i}', fontsize=10)
    
    
    quarentena = np.zeros(shape=(L, L))
    
    
    for j in range(L):
        
        quarentena[j] = dmc_loc[i, j*L : (j+1) * L]
        
    # # plot
    graph = plt.scatter(xv,yv, c= quarentena, marker='.', vmax=1.0, vmin=0.0)
    

    return graph

fig, ax = plt.subplots()
ani = animation.FuncAnimation(fig, animate, frames = len(dmc_loc), repeat=False, interval=5)



#%% Reorganiza para plot da quantidade por tempo

quarentena, nao_quarentena = [], []

for i in range(len(dmc_loc)):
    
    quarentena.append(len(np.where(dmc_loc[i] == 0)[0])/L2)
    
    
    nao_quarentena.append(len(np.where(dmc_loc[i] == 1)[0])/L2)
    
#%% Evolução da quantidade de quarentenados e infectados

fig, ax = plt.subplots()

ax2 = ax.twinx()

plt.title('Evolução da quantidade de quarentenados e infectados')

ax.plot(quarentena, label='QT', color='black', alpha=0.8)

# ax.plot(nao_quarentena, label='QN', color='red', alpha=0.6)

# ax.set_ylim(0, 1600*1.5)
ax2.plot(data['i'], label='I')
# ax.plot(data['r'], label='I')
# ax.plot(data['s'], label='I')
    
ax.legend(loc='lower left')
# ax2.legend(loc='lower right')

Resultados e Discussão

?

evolução temporal monte carlo SIR com jogo

evolução temporal monte carlo SIR com jogo e quantidade de quarentenados por passo

evolução temporal monte carlo SIR com jogo e SIR normal

animações com quarentenados e sir (acho que o pessoal gosta)

Os resultados obtidos mostram que uma quarentena voluntária diminuem significativamente o número de infectados em um primeiro momento, o que era esperado e comprovado por dados da Covid em países que conseguiram obter níveis de isolamento adequados [referencia pra essa frase].

Ao realizar as simulações, foi observado que tanto os parâmetros da matriz de payoff e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena interferem na evolução da doença. Mesmo assim, não foi possível alcançar o conjunto de parâmetros ideais para obter as ondas de infecção ao longo do tempo.

Abaixo são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando o estado inicial do sistema em relação ao isolamento dos indivíduos.

- % de quarentenas random - todos eles de um lado - todos eles no centro

Referências

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .
↑ ^2,0 ^2,1 MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR
↑ Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477
↑ ^4,0 ^4,1 M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007.
↑ ^5,0 ^5,1 ^5,2 ^5,3 HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. Game theory and physics. DOI: 10.1119/1.18485144 .
↑ Analytical solution of SIR-model

[multiple-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .

[SIR-2] 2,0 ^2,1 MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR

[3] Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477

[r0-4] 4,0 ^4,1 M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007.

[hauert-5] 5,0 ^5,1 ^5,2 ^5,3 HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. Game theory and physics. DOI: 10.1119/1.18485144 .

[6] Analytical solution of SIR-model

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Modelos Epidemiológicos

Índice

Introdução