Em construção
Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Pedro Inocêncio Rodrigues Terra
Introdução
Tsunami é um fenômeno da natureza caracterizado por uma sucessão de ondas marinhas, que devido ao seu grande volume e alta velocidade, podem se tornar catastróficas ao atingir a costa. Sismos, erupções vulcânicas, deslizamentos de terra, impactos e outros movimentos submarinos são a causa para a formação deste evento, sendo a grande maioria provocado pelos movimentos das placas tectônicas.
Formação de um Tsunami
Vamos analisar a sequência de passos da formação de uma Tsunami formada a partir de um abalo sísmico:
I. A convergência das placas tectônicas, devido as correntes de convecção, faz com que existam forças de tensão entre as placas.
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A tensão entre as placas eventualmente ultrapassa o limite máximo, o que provoca o deslizamento brusco de uma das placas sobre a outra, gerando um grande deslocamento de volume de água na vertical. Como a tsunami ocorre em grandes profundidades, ela pode passar despercebida para um barco que navega nas proximidades, uma vez que amplitude da onda é menor.
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II. A onda gerada se propaga ao longo de todas as direções do plano da água.
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III. A medida que a onda se aproxima da superfície ela diminui sua velocidade e aumenta sua amplitude
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Temos o interesse de descrever fisicamente a propagação da Tsunami de acordo com a topografia da água e do mar, por essa razão não iremos estudar o efeito físico que causou o deslocamento do volume de água.
Teoria
Derivação das EQs. de Águas Rasas
Para obter as equações de águas rasas devemos partir da equação da continuidade e das equações da quantidade de movimento de Navier-Stokes:
é a densidade; p é a pressão; é o vetor velocidade do fluído, onde u,v e w são as velocidades das partículas que compõe o fluído nas direções x,y,z; é o vetor aceleração da gravidade; é o tensor tensão, onde as componentes deste tensor são as tensões normais e tangenciais de cisalhamento, expressas por , no qual indica a direção e o plano normal.
Introduzindo as condições de contorno [1] para a superfície e para a profundidade do oceano :
, onde
, onde
é o deslocamento vertical da água sobre a superfície em repouso, é o vetor velocidade do fluído nas direções horizontais x e y.
A equação da continuidade em (3) pode ser simplificada, já que a densidade do fluído no oceano não varia significativamente com o tempo e a posição.
Integrando a expressão da continuidade em (6), utilizando a regra da integral de Leibniz [1], com os limites indo de até chegamos na seguinte expressão:
Teorema de Leibniz:
Substituindo as condições de contorno da profundidade (5) em (7) obtemos:
Substituindo a condição de contorno da superfície (4) em (9):
(10) é a primeira das equações das águas rasas que obtemos, onde é o comprimento da água total do fundo do oceano até a amplitude da onda.
Podemos expressar (10) através do fluxo de descarga nas direções x e y, estás quantidades estão relacionadas com as velocidades da seguinte forma [1]:
Substituindo (11) e (12) em (10) chegamos na representação do fluxo de descarga para uma das equações de águas rasas.
Escrevendo as quantidades de movimento de Navier-Stokes nas componentes x,y e z:
Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} + w\frac{\partial u}{\partial z} +\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x} +g_x = 0 \qquad (14) }
Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle \frac{\partial v}{\partial t} + u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y} + w\frac{\partial v}{\partial z} +\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x} +g_y = 0 \qquad (15) }
Na componente z em (15) negligenciamos a aceleração das partículas, pois a aceleração da gravidade é muito maior. Também tomamos como nulos as componentes e em (14) e passamos a definir .
Resolvendo equação diferencial da componente z em (16) podemos obter a pressão, a qual é hidrostática.
Substituindo a pressão em (14):
Integrando a equação (18) em relação a componente z com os limites indo
Integrando a expressão (18), utilizando a regra da integral de Leibniz [1] e as condições de contorno (4) e (5), com os limites indo de até chegamos em outra das equações de águas rasas:
Generalizando a equação (18), para a componente y, obtemos a última das equações de águas rasas:
Na representação de fluxo de cargas as expressões (18) e (19) são apresentadas respectivamente como:
Iremos escrever as equações das águas rasas considerando o tensor de estresse . Os elementos deste tensor são responsáveis por causar nas partículas tensões tangenciais e perpendiculares, onde as tensões tangenciais são representadas por elementos onde , e as perpendiculares por elementos onde
Decompondo nas componentes x,y, e z de presente em (4):
Considerando o fluído Newtoniano, então as tensões de cisalhamento serão proporcionais a uma taxa de deformação, onde a constante de deformidade é a viscosidade.
Forma Conservativa
Um modelo mais simples - desconsiderando a fricção, viscosidade do líquido e as forças de Coriolis sobre ele - pode ser obtido [2][3]. Para desenvolvê-lo são necessárias algumas premissas:
- O comprimento da onda é muito maior que as contribuições na direção
- A aceleração na direção da velocidade na direção é zero
- As componentes das velocidades em e em ( e ) não variam em
O sistema então pode ser descrito pelas seguintes equações:
Onde é a altura do fluido desde a base, são as velocidades médias na direções , é a constante gravitacional e é função que descreve a superfície onde acontece o movimento.
Desenvolvimento do cálculo
Forma conservativa 2D
Para descrever numericamente o fenômeno foi utilizado discretização por diferenças finitas e o método pra frente no tempo e no espaço (FTCS). As equações discretizadas podem ser observadas abaixo.
Para esse desenvolvimento encontramos algumas dificuldades para resolução do sistema de equações:
Referências