Equação de Águas Rasas

Em construção Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Pedro Inocêncio Rodrigues Terra

Introdução

Tsunami é um fenômeno da natureza caracterizado por uma sucessão de ondas marinhas, que devido ao seu grande volume e alta velocidade, podem se tornar catastróficas ao atingir a costa. Sismos, erupções vulcânicas, deslizamentos de terra, impactos e outros movimentos submarinos são a causa para a formação deste evento, sendo a grande maioria provocado pelos movimentos das placas tectônicas.

Formação de um Tsunami

Vamos analisar a sequência de passos da formação de uma Tsunami formada a partir de um abalo sísmico:

I. A convergência das placas tectônicas, devido as correntes de convecção, faz com que existam forças de tensão entre as placas.

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A tensão entre as placas eventualmente ultrapassa o limite máximo, o que provoca o deslizamento brusco de uma das placas sobre a outra, gerando um grande deslocamento de volume de água na vertical. Como a tsunami ocorre em grandes profundidades, ela pode passar despercebida para um barco que navega nas proximidades, uma vez que amplitude da onda é menor.

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II. A onda gerada se propaga ao longo de todas as direções do plano da água.

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III. A medida que a onda se aproxima da superfície ela diminui sua velocidade e aumenta sua amplitude

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Temos o interesse de descrever fisicamente a propagação da Tsunami de acordo com a topografia da água e do mar, por essa razão não iremos estudar o efeito físico que causou o deslocamento do volume de água.

Teoria

Derivação das EQs. de Águas Rasas

Para obter as equações de águas rasas devemos partir da equação da continuidade e das equações da quantidade de movimento de Navier-Stokes:

$\frac{d\rho }{dt}+\mathrm{\nabla }.(\rho \mathbf{𝐮})=0(3)$

$\frac{D\mathbf{𝐮}}{Dt}+\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }p+\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }.\mathit{\tau }+\mathbf{𝐠}=0(4)$

$\rho$ é a densidade; p é a pressão; $\mathbf{𝐮}=(u,v,w)$ é o vetor velocidade do fluído, onde u,v e w são as velocidades das partículas que compõe o fluído nas direções x,y,z; $\mathbf{𝐠}$ é o vetor aceleração da gravidade; $\mathit{\tau }$ é o tensor tensão, onde as componentes deste tensor são as tensões normais e tangenciais de cisalhamento, expressas por ${\tau }_{ij}$, no qual $i$ indica a direção e $j$ o plano normal.

Introduzindo as condições de contorno para a superfície $z(x,y,t)$ e para a profundidade do oceano $h(x,y)$:

$\frac{D\eta }{Dt}=\frac{\partial \eta }{\partial t}+\mathbf{𝐯}.\mathrm{\nabla }\eta =w$ , onde $z=\eta (x,y,t)(4)$

$\mathbf{𝐮}.\mathrm{\nabla }(z+h(x,y))=0$ , onde $z=-h(x,y)(5)$

$\eta$ é o deslocamento vertical da água sobre a superfície em repouso, $\mathbf{𝐯}=(x,y,0)$ é o vetor velocidade do fluído nas direções horizontais x e y.

A equação da continuidade em (3) pode ser simplificada, já que a densidade do fluído no oceano $\rho$ não varia significativamente com o tempo e a posição.

$\mathrm{\nabla }.\mathbf{𝐮}=0(6)$

Integrando a expressão da continuidade em (6), utilizando a regra da integral de Leibniz , com os limites indo de $-h(x,y)$ até $\eta (x,y,t)$ chegamos na seguinte expressão:

$\underset{-h}{\overset{\eta }{\int }}\mathrm{\nabla }.\mathbf{𝐮}=\underset{-h}{\overset{\eta }{\int }}(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z})dz=\frac{\partial }{\partial x}\underset{-h}{\overset{\eta }{\int }}udz+\frac{\partial }{\partial y}\underset{-h}{\overset{\eta }{\int }}vdz+w{|}_{-h}^{\eta }+\mathbf{𝐮}.\mathrm{\nabla }(z+h(x,y)){|}_{-h}^{\eta }-u{|}_{-h}^{\eta }\frac{\partial \eta }{\partial x}-v{|}_{-h}^{\eta }\frac{\partial \eta }{\partial y}(7)$

Teorema de Leibniz:

$\frac{d}{dx}(\underset{a(x)}{\overset{b(x)}{\int }}f(x,t)dt)=f(x,b(x))\cdot \frac{d}{dx}b(x)-f(x,a(x))\cdot \frac{d}{dx}a(x)+\underset{a(x)}{\overset{b(x)}{\int }}\frac{\partial }{\partial x}f(x,t)dt(8)$

Substituindo as condições de contorno da profundidade (5) em (7) obtemos:

$\frac{\partial }{\partial x}\underset{-h}{\overset{\eta }{\int }}udz+\frac{\partial }{\partial y}\underset{-h}{\overset{\eta }{\int }}vdz-w{|}_{eta}-\mathbf{𝐯}.\mathrm{\nabla }\eta =0(9)$

Substituindo a condição de contorno da superfície (4) em (9):

$\frac{\partial }{\partial x}\underset{-h}{\overset{\eta }{\int }}udz+\frac{\partial }{\partial y}\underset{-h}{\overset{\eta }{\int }}vdz+\frac{\partial \eta }{\partial t}=\frac{\partial u(\eta +h)}{\partial x}+\frac{\partial v(\eta +h)}{\partial y}+\frac{\partial \eta }{\partial t}=\frac{\partial uD}{\partial x}+\frac{\partial vD}{\partial y}+\frac{\partial \eta }{\partial t}$

$\Rightarrow \frac{\partial \eta }{\partial t}+\frac{\partial uD}{\partial x}+\frac{\partial vD}{\partial y}=0(10)$

(10) é a primeira das equações das águas rasas que obtemos, onde $D$ é o comprimento da água total do fundo do oceano até a amplitude da onda. Podemos expressar (10) através do fluxo de descarga nas direções x e y, estás quantidades estão relacionadas com as velocidades da seguinte forma :

$M=\frac{\partial }{\partial x}\underset{-h}{\overset{\eta }{\int }}udz=uD(11)$

$N=\frac{\partial }{\partial y}\underset{-h}{\overset{\eta }{\int }}vdz=vD(12)$

Substituindo (11) e (12) em (10) chegamos na representação do fluxo de descarga para uma das equações de águas rasas.

$\Rightarrow \frac{\partial \eta }{\partial t}+\frac{\partial M}{\partial x}+\frac{\partial N}{\partial y}=0(10)$

Escrevendo as quantidades de movimento de Navier-Stokes nas componentes x,y e z:

$$

$$

$\frac{1}{\rho }\frac{\partial P}{\partial x}+g_z=0(16)$

Na componente z em (15) negligenciamos a aceleração das partículas, pois a aceleração da gravidade é muito maior. Também tomamos como nulos as componentes $g_x$ e $g_y$ em (14) e passamos a definir $g_z=g$.

Resolvendo equação diferencial da componente z em (16) podemos obter a pressão, a qual é hidrostática.

$\partial P=\rho g\partial z\Rightarrow P=\rho g(\eta -z)(17)$

Substituindo a pressão em (14):

$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}+g\frac{\partial \eta }{\partial x}=0(18)$

Integrando a equação (18) em relação a componente z com os limites indo

Integrando a expressão (18), utilizando a regra da integral de Leibniz [1] e as condições de contorno (4) e (5), com os limites indo de $-h(x,y)$ até $\eta (x,y,t)$ chegamos em outra das equações de águas rasas:

$\frac{\partial uD}{\partial t}+\frac{\partial u^{2}D}{\partial x}+\frac{\partial uvD}{\partial y}+\frac{g}{2}\frac{\partial D^2}{\partial x}=0(18)$

Generalizando a equação (18), para a componente y, obtemos a última das equações de águas rasas:

$\frac{\partial vD}{\partial t}+\frac{\partial v^{2}D}{\partial y}+\frac{\partial uvD}{\partial x}+\frac{g}{2}\frac{\partial D^2}{\partial y}=0(19)$

Na representação de fluxo de cargas as expressões (18) e (19) são apresentadas respectivamente como:

$\frac{\partial M}{\partial t}+\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{M^2}{D}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{MN}{D}\right)+gD\frac{\partial \eta }{\partial x}=0(20)$

$\frac{\partial N}{\partial t}+\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{N^2}{D}\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{MN}{D}\right)+gD\frac{\partial \eta }{\partial x}=0(21)$

Iremos escrever as equações das águas rasas considerando o tensor de estresse $\mathit{\tau }$. Os elementos deste tensor são responsáveis por causar nas partículas tensões tangenciais e perpendiculares, onde as tensões tangenciais são representadas por elementos ${\tau }_{ij}$ onde $i\ne j$, e as perpendiculares por elementos ${\tau }_{ij}$ onde $i=j$

Decompondo nas componentes x,y, e z de $\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }.\mathit{\tau }$ presente em (4):

$\frac{1}{\rho }(\frac{\partial }{\partial x}{\tau }_{xx}+\frac{\partial }{\partial y}{\tau }_{xy}+\frac{\partial }{\partial z}{\tau }_{xz})(22)$

$\frac{1}{\rho }(\frac{\partial }{\partial x}{\tau }_{yx}+\frac{\partial }{\partial y}{\tau }_{yy}+\frac{\partial }{\partial z}{\tau }_{yz})(23)$

$\frac{1}{\rho }(\frac{\partial }{\partial x}{\tau }_{zx}+\frac{\partial }{\partial y}{\tau }_{zy}+\frac{\partial }{\partial z}{\tau }_{zz})(24)$

Forma Conservativa

Um modelo mais simples - desconsiderando a fricção, viscosidade do líquido e as forças de Coriolis sobre ele - pode ser obtido . Para desenvolvê-lo são necessárias algumas premissas:

• O comprimento da onda é muito maior que as contribuições na direção $\overrightarrow{z}$
• A aceleração na direção da velocidade na direção $\overrightarrow{z}$ é zero
• As componentes das velocidades em $\overrightarrow{x}$ e em $\overrightarrow{y}$ ($\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$) não variam em $\overrightarrow{z}$

O sistema então pode ser descrito pelas seguintes equações:

$\frac{\partial h}{\partial t}+\frac{\partial hu}{\partial x}+\frac{hv}{\partial y}=0$

$\frac{\partial hu}{\partial t}+\frac{\partial (h{u}^2+\frac{1}{2}g{h}^2)}{\partial x}+\frac{huv}{\partial y}=-gh\frac{\partial b}{\partial x}$

$\frac{\partial hv}{\partial t}+\frac{huv}{\partial x}+\frac{\partial (h{v}^2+\frac{1}{2}g{h}^2)}{\partial y}=-gh\frac{\partial b}{\partial y}$

Onde $h$ é a altura do fluido desde a base, $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ são as velocidades médias na direções $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}$, $g$ é a constante gravitacional e $b(x,y)$ é função que descreve a superfície onde acontece o movimento.

Desenvolvimento do cálculo

Forma conservativa 2D

Para descrever numericamente o fenômeno foi utilizado discretização por diferenças finitas e o método pra frente no tempo e no espaço (FTCS). As equações discretizadas podem ser observadas abaixo.

$\frac{h_{i,j}^{t+\mathrm{\Delta }t}-h_{i,j}^t}{\mathrm{\Delta }t}+\left[\frac{(hu{)}_{i+1,j}^t-(hu{)}_{i-1,j}^t}{2\mathrm{\Delta }x}\right]+\left[\frac{(hv{)}_{i,j+1}^t-(hv{)}_{i,j-1}^t}{2\mathrm{\Delta }y}\right]=0$

$\frac{hu{)}_{i,j}^{t+\mathrm{\Delta }t}-(hu{)}_{i,j}^t}{\mathrm{\Delta }t}+\left[\frac{(h{u}^2+\frac{1}{2}g{h}^2{)}_{i+1,j}^t-(h{u}^2+\frac{1}{2}g{h}^2{)}_{i-1,j}^t}{2\mathrm{\Delta }x}\right]+\left[\frac{(huv{)}_{i,j+1}^t-(huv{)}_{i,j-1}^t}{2\mathrm{\Delta }y}\right]=-g{h}_{i,j}^t{b}_{x.i,j}$

$\frac{(hv{)}_{i,j}^{t+\mathrm{\Delta }t}-(hv{)}_{i,j}^t}{\mathrm{\Delta }t}+\left[\frac{(huv{)}_{i+1,j}^t-(huv{)}_{i-1,j}^t}{2\mathrm{\Delta }x}\right]+\left[\frac{(h{v}^2+1/2g{h}^2{)}_{i,j+1}^t-(h{v}^2+1/2g{h}^2{)}_{i,j-1}^t}{2\mathrm{\Delta }y}\right]=-g{h}_{i,j}^t{b}_{y.i,j}$

Para esse desenvolvimento encontramos algumas dificuldades para resolução do sistema de equações: