Equação de Águas Rasas

Em construção Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Pedro Inocêncio Rodrigues Terra

Introdução

Tsunami é um fenômeno da natureza caracterizado por uma sucessão de ondas marinhas, que devido ao seu grande volume e alta velocidade, podem se tornar catastróficas ao atingir a costa. Sismos, erupções vulcânicas, deslizamentos de terra, impactos e outros movimentos submarinos são a causa para a formação deste evento, sendo a grande maioria provocado pelos movimentos das placas tectônicas.

Formação de um Tsunami

Vamos analisar a sequência de passos da formação de uma Tsunami formada a partir de um abalo sísmico:

I. A convergência das placas tectônicas, devido as correntes de convecção, faz com que existam forças de tensão entre as placas.

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A tensão entre as placas eventualmente ultrapassa o limite máximo, o que provoca o deslizamento brusco de uma das placas sobre a outra, gerando um grande deslocamento de volume de água na vertical. Como a tsunami ocorre em grandes profundidades, ela pode passar despercebida para um barco que navega nas proximidades, uma vez que amplitude da onda é menor.

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II. A onda gerada se propaga ao longo de todas as direções do plano da água.

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III. A medida que a onda se aproxima da superfície ela diminui sua velocidade e aumenta sua amplitude

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Temos o interesse de descrever fisicamente a propagação da Tsunami de acordo com a topografia da água e do mar, por essa razão não iremos estudar o efeito físico que causou o deslocamento do volume de água.

Teoria

Derivação das EQs. de Águas Rasas

Para obter as equações de águas rasas devemos partir da equação da continuidade e das equações da quantidade de movimento de Navier-Stokes:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d\rho}{dt} +\nabla . (\rho \mathbf{u}) = 0 \qquad (3) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{D \mathbf{u}}{Dt} +\frac{1}{\rho}\nabla p +\frac{1}{\rho} \nabla . \boldsymbol{\tau} +\mathbf{g} = 0 \qquad (4) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho } é a densidade; p é a pressão; $\mathbf {u} =(u,v,w)$ é o vetor velocidade do fluído, onde u,v e w são as velocidades das partículas que compõe o fluído nas direções x,y,z; $\mathbf {g}$ é o vetor aceleração da gravidade; ${\boldsymbol {\tau }}$ é o tensor tensão, onde as componentes deste tensor são as tensões normais e tangenciais de cisalhamento, expressas por $\tau _{ij}$ , no qual $i$ indica a direção e $j$ o plano normal.

Introduzindo as condições de contorno ^[1] para a superfície $z(x,y,t)$ e para a profundidade do oceano $h(x,y)$ :

${\frac {D\eta }{Dt}}={\frac {\partial \eta }{\partial t}}+\mathbf {v} .\nabla \eta =w$ , onde $z=\eta (x,y,t)\qquad (4)$

$\mathbf {u} .\nabla (z+h(x,y))=0$ , onde $z=-h(x,y)\qquad (5)$

$\eta$ é o deslocamento vertical da água sobre a superfície em repouso, $\mathbf {v} =(x,y,0)$ é o vetor velocidade do fluído nas direções horizontais x e y.

A equação da continuidade em (3) pode ser simplificada, já que a densidade do fluído no oceano $\rho$ não varia significativamente com o tempo e a posição.

$\nabla .\mathbf {u} =0\qquad (6)$

Integrando a expressão da continuidade em (6), utilizando a regra da integral de Leibniz ^[1], com os limites indo de $-h(x,y)$ até $\eta (x,y,t)$ chegamos na seguinte expressão:

$\int _{-h}^{\eta }\nabla .\mathbf {u} =\int _{-h}^{\eta }{\Big (}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}{\Big )}dz={\frac {\partial }{\partial x}}\int _{-h}^{\eta }udz+{\frac {\partial }{\partial y}}\int _{-h}^{\eta }vdz+w{\Big |}_{-h}^{\eta }+\mathbf {u} .\nabla (z+h(x,y)){\Big |}_{-h}^{\eta }-u{\Big |}_{-h}^{\eta }{\frac {\partial \eta }{\partial x}}-v{\Big |}_{-h}^{\eta }{\frac {\partial \eta }{\partial y}}\qquad (7)$

Teorema de Leibniz:

${\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt\qquad (8)$

Substituindo as condições de contorno da profundidade (5) em (7) obtemos:

${\frac {\partial }{\partial x}}\int _{-h}^{\eta }udz+{\frac {\partial }{\partial y}}\int _{-h}^{\eta }vdz-w{\Big |}_{eta}-\mathbf {v} .\nabla \eta =0\qquad (9)$

Substituindo a condição de contorno da superfície (4) em (9):

${\frac {\partial }{\partial x}}\int _{-h}^{\eta }udz+{\frac {\partial }{\partial y}}\int _{-h}^{\eta }vdz+{\frac {\partial \eta }{\partial t}}={\frac {\partial u(\eta +h)}{\partial x}}+{\frac {\partial v(\eta +h)}{\partial y}}+{\frac {\partial \eta }{\partial t}}={\frac {\partial uD}{\partial x}}+{\frac {\partial vD}{\partial y}}+{\frac {\partial \eta }{\partial t}}$

$\Rightarrow {\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\frac {\partial uD}{\partial x}}+{\frac {\partial vD}{\partial y}}=0\qquad (10)$

(10) é a primeira das equações das águas rasas que obtemos, onde $D$ é o comprimento da água total do fundo do oceano até a amplitude da onda. Podemos expressar (10) através do fluxo de descarga nas direções x e y, estás quantidades estão relacionadas com as velocidades da seguinte forma ^[1]:

$M={\frac {\partial }{\partial x}}\int _{-h}^{\eta }udz=uD\qquad (11)$

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N = \frac{\partial}{\partial y} \int_{-h}^{\eta} v dz = vD \qquad (12) }

Substituindo (11) e (12) em (10) chegamos na representação do fluxo de descarga para uma das equações de águas rasas.

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Rightarrow \frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial M}{\partial x}+ \frac{\partial N}{\partial y} = 0 \qquad (10) }

Escrevendo as quantidades de movimento de Navier-Stokes nas componentes x,y e z:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} + w\frac{\partial u}{\partial z} +\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x} +g_x = 0 \qquad (14) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial v}{\partial t} + u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y} + w\frac{\partial v}{\partial z} +\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x} +g_y = 0 \qquad (15) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x} +g_z = 0 \qquad (16) }

Na componente z em (15) negligenciamos a aceleração das partículas, pois a aceleração da gravidade é muito maior. Também tomamos como nulos as componentes Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g_x} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g_y} em (14) e passamos a definir Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g_z = g } .

Resolvendo equação diferencial da componente z em (16) podemos obter a pressão, a qual é hidrostática.

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \partial P = \rho g \partial z \Rightarrow P = \rho g (\eta - z) \qquad (17) }

Substituindo a pressão em (14):

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} + w\frac{\partial u}{\partial z} +g \frac{\partial \eta}{\partial x} =0 \qquad (18) }

Integrando a equação (18) em relação a componente z com os limites indo

Integrando a expressão (18), utilizando a regra da integral de Leibniz [1] e as condições de contorno (4) e (5), com os limites indo de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -h(x,y)} até Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \eta(x,y,t)} chegamos em outra das equações de águas rasas:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial uD}{\partial t} + \frac{\partial u^{2}D}{\partial x} + \frac{\partial uvD}{\partial y} + \frac{g}{2} \frac{\partial D^2}{\partial x} =0 \qquad (18) }

Generalizando a equação (18), para a componente y, obtemos a última das equações de águas rasas:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial vD}{\partial t} + \frac{\partial v^{2}D}{\partial y} + \frac{\partial uvD}{\partial x} + \frac{g}{2} \frac{\partial D^2}{\partial y} =0 \qquad (19) }

Na representação de fluxo de cargas as expressões (18) e (19) são apresentadas respectivamente como:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial M}{\partial t} + \frac{\partial }{\partial x}\Big(\frac{M^{2}}{D}\Big) + \frac{\partial }{\partial y}\Big(\frac{MN}{D}\Big)+ gD \frac{\partial \eta}{\partial x} = 0 \qquad (20) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial N}{\partial t} + \frac{\partial }{\partial y}\Big(\frac{N^{2}}{D}\Big) + \frac{\partial }{\partial x}\Big(\frac{MN}{D}\Big) +gD \frac{\partial \eta}{\partial x} = 0 \qquad (20) }

Iremos escrever as equações das águas rasas considerando o tensor de estresse Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \boldsymbol{\tau} } . Os elementos deste tensor são responsáveis por causar nas partículas tensões tangenciais e perpendiculares, onde as tensões tangenciais são representadas por elementos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau_{ij}} onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i \ne j } , e as perpendiculares por elementos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau_{ij}} onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i = j }

Forma Conservativa

Um modelo mais simples - desconsiderando a fricção, viscosidade do líquido e as forças de Coriolis sobre ele - pode ser obtido ^[2]^[3]. Para desenvolvê-lo são necessárias algumas premissas:

O comprimento da onda é muito maior que as contribuições na direção Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{z}}
A aceleração na direção da velocidade na direção ${\vec {z}}$ é zero
As componentes das velocidades em ${\vec {x}}$ e em ${\vec {y}}$ ( ${\vec {u}}$ e ${\vec {v}}$ ) não variam em ${\vec {z}}$

O sistema então pode ser descrito pelas seguintes equações:

${\dfrac {\partial h}{\partial t}}+{\dfrac {\partial hu}{\partial x}}+{\dfrac {hv}{\partial y}}=0$

${\dfrac {\partial hu}{\partial t}}+{\dfrac {\partial \left(hu^{2}+{\dfrac {1}{2}}gh^{2}\right)}{\partial x}}+{\dfrac {huv}{\partial y}}=-gh{\dfrac {\partial b}{\partial x}}$

${\dfrac {\partial hv}{\partial t}}+{\dfrac {huv}{\partial x}}+{\dfrac {\partial \left(hv^{2}+{\dfrac {1}{2}}gh^{2}\right)}{\partial x}}=-gh{\dfrac {\partial b}{\partial y}}$

Ao aproximar por diferenças finitas obtemos o sistema de equações discretizadas a seguir.

${\dfrac {h_{i,j}^{t+\Delta t}-h_{i,j}^{t}}{\Delta t}}+\left[{\dfrac {(hu)_{i+1,j}^{t}-(hu)_{i-1,j}^{t}}{2\Delta x}}\right]+\left[{\dfrac {(hv)_{i,j+1}^{t}-(hv)_{i,j-1}^{t}}{2\Delta y}}\right]=0$

${\dfrac {hu)_{i,j}^{t+\Delta t}-(hu)_{i,j}^{t}}{\Delta t}}+\left[{\dfrac {(hu^{2}+{\cfrac {1}{2}}gh^{2})_{i+1,j}^{t}-(hu^{2}+{\cfrac {1}{2}}gh^{2})_{i-1,j}^{t}}{2\Delta x}}\right]+\left[{\dfrac {(huv)_{i,j+1}^{t}-(huv)_{i,j-1}^{t}}{2\Delta y}}\right]=-gh_{i,j}^{t}b_{x.i,j}$

${\dfrac {(hv)_{i,j}^{t+\Delta t}-(hv)_{i,j}^{t}}{\Delta t}}+\left[{\dfrac {(huv)_{i+1,j}^{t}-(huv)_{i-1,j}^{t}}{2\Delta x}}\right]+\left[{\dfrac {(hv^{2}+1/2gh^{2})_{i,j+1}^{t}-(hv^{2}+1/2gh^{2})_{i,j-1}^{t}}{2\Delta y}}\right]=-gh_{i,j}^{t}b_{y.i,j}$

Resolvendo pelo método de FTCS (para frente no tempo) e ajustando aos limites de estabilidade, temos como resultado:

.... aqui gráfico ....

Para esse desenvolvimento encontramos algumas dificuldades para resolução do sistema de equações.

Referências

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 https://docplayer.net/49487265-Lecture-8-the-shallow-water-equations.html Erro de citação: Etiqueta inválida <ref>; Nome "Hopf" definido várias vezes com conteúdo diferente Erro de citação: Etiqueta inválida <ref>; Nome "Hopf" definido várias vezes com conteúdo diferente
↑ GARCÍA-NAVARRO, P; et al. The shallow water equations: An example of hyperbolic system. Espanha: 2008. Disponível em: <https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.571.1364&rep=rep1&type=pdf>
↑ KUHBACHER, Christian. Shallow Water: Derivation and Applications. Disponível em: <http://www.mathematik.tu-dortmund.de/lsiii/cms/papers/Kuehbacher2009.pdf>

[Hopf-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 https://docplayer.net/49487265-Lecture-8-the-shallow-water-equations.html Erro de citação: Etiqueta inválida <ref>; Nome "Hopf" definido várias vezes com conteúdo diferente Erro de citação: Etiqueta inválida <ref>; Nome "Hopf" definido várias vezes com conteúdo diferente

[2] GARCÍA-NAVARRO, P; et al. The shallow water equations: An example of hyperbolic system. Espanha: 2008. Disponível em: <https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.571.1364&rep=rep1&type=pdf>

[3] KUHBACHER, Christian. Shallow Water: Derivation and Applications. Disponível em: <http://www.mathematik.tu-dortmund.de/lsiii/cms/papers/Kuehbacher2009.pdf>

[1]

[2]

[3]

Equação de Águas Rasas

Índice

Introdução

Formação de um Tsunami

Teoria

Derivação das EQs. de Águas Rasas

Forma Conservativa

Referências

Menu de navegação

Equação de Águas Rasas

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Formação de um Tsunami

Teoria

Derivação das EQs. de Águas Rasas

Forma Conservativa

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