Equação de Burgers

(EM EDIÇÃO)

Grupo: Eduardo Pedroso, Luis Gustavo Lang Gaiato, William...

Um dos maiores desafios no campo dos sistemas complexos é a compreensão do fenômeno de turbulência. Simulações computacionais contribuíram bastante para o entendimento dessa área, no entanto, ainda não existe nenhuma teoria que explique com sucesso esse comportamento e permita prever outros importantes fenômenos como misturas, convecção e combustão turbulentas, com base nas equações fundamentais da dinâmica de fluidos. Isso se deve ao fato de que a equação para os fluidos mais simples (incompressíveis) já deve levar em consideração propriedades não lineares ^[1]. Da equação de Navier–Stokes:

${\frac {\partial }{\partial t}}v(x,t)+\nabla \cdot v(x,t)=-\nabla p(x,t)+\nu \Delta v(x,t)$

$\nabla \cdot v(x,t)=0$

Devido à incompressibilidade, a pressão $p$ é definida pela equação de Poisson:

$\Delta p(x,t)=-\nabla \cdot v(x,t)\cdot \nabla v(x,t))$

Em 1939 o cientista alemão Johannes Martinus Burgers simplificou a equação de Navier-Stokes, removendo o termo de pressão. A equação ficou conhecida como equação de Burgers. Em uma dimensão, onde $u$ corresponde ao campo de velocidades e $\nu$ ao coeficiente de difusão:

${\frac {\partial }{\partial t}}u(x,t)+u(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}u(x,t)=\nu {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u(x,t)$

A equação de Burgers é não linear e, portanto, espera-se um comportamento similar ao da turbulência. No entanto, foi demonstrado posteriormente que a equação de Burgers homogênea, não possuí a propriedade mais importante atribuída ao fenômeno de turbulência: o comportamento caótico em relação à pequenas mudanças nas condições iniciais. Utilizando a transformação de Hopf-Cole, que transforma a equação de Burgers em uma equação parabólica linear é possível observar essa característica ^[2].

Do ponto de vista numérico, isso é bastante importante, pois permite a comparação das soluções da equação não linear numérica com o resultado analítico. Dessa forma, pode-se investigar a qualidade do método numérico utilizado.

A transformação de Hopf-Cole

A transformação de Hopf-cole mapeia a solução da equação de Burgers na equação do calor ^[2] ^[3] ^[4]:

${\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)=\nu \Delta \psi (x,t)$

Escrevendo a equação, para uma certa condição inicial $F(x)$ :

${\frac {\partial }{\partial t}}u(x,t)+u(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}u(x,t)=\nu {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u(x,t)$

$u(x,0)=F(x)$

Assim, reescrevendo a equação:

${\frac {\partial }{\partial t}}u(x,t)+{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {(u(x,t))^{2}}{2}}-\nu {\frac {\partial }{\partial x}}u(x,t)\right)=0$

Busca-se uma solução $\psi (x,t)$ que satisfaça:

$\left\{{\begin{array}{l}{\cfrac {\partial \psi }{\partial x}}=u\\{\cfrac {\partial \psi }{\partial t}}=\nu {\cfrac {\partial }{\partial x}}u-{\cfrac {u^{2}}{2}}\end{array}}\right.$

Como:

${\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}$

Tem-se, que:

${\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right)^{2}$

Aplicando a transformação de Hopf-Cole:

$\psi =-2\nu \ln {(\phi )}$

Assim, os seguintes resultados são obtidos:

${\frac {\partial \psi }{\partial x}}=-{\frac {2\nu }{\phi }}\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)$

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}={\frac {2\nu }{\phi ^{2}}}\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)^{2}-{\frac {2\nu }{\phi }}\left({\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}\right)$

${\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-{\frac {2\nu }{\phi }}\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)$

Dessa forma:

${\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right)^{2}\rightarrow -{\frac {2\nu }{\phi }}\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)={\frac {2\nu ^{2}}{\phi ^{2}}}\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)^{2}-{\frac {2\nu ^{2}}{\phi }}\left({\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}\right)-{\frac {1}{2}}\left[{\frac {2\nu }{\phi }}\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)\right]^{2}$

$\implies {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}$

A equação se torna a própria equação de difusão. É necessário, no entanto, transformar também as condições de contorno; assim:

$F(x)=u(x,0)=-{\frac {2\nu }{\phi (x,0)}}\left({\frac {\partial \phi (x,0)}{\partial x}}\right)$

Podendo ser reescrito como:

$\rightarrow {\frac {d}{dx}}\ln {(\phi )}=-{\frac {1}{2\nu }}F(x)$

Cuja solução:

$\phi (x,0)=\Phi (x)=\exp {\left(-{\frac {1}{2\nu }}\int _{0}^{x}F(s)ds\right)}$

Dessa forma, é preciso resolver:

$\left\{{\begin{array}{l}{\cfrac {\partial \phi }{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}\\\phi (x,0)=\Phi (x)\end{array}}\right.$

Utilizando a transformada de Fourier:

$\left\{{\begin{array}{l}{\cfrac {\partial {\hat {\phi }}}{\partial t}}=-k^{2}\nu {\hat {\phi }}\\{\hat {\phi }}(k,0)={\hat {\Phi }}(k)\end{array}}\right.$

Cuja solução:

${\hat {\phi }}(k,t)={\hat {\Phi }}(k)e^{-k\nu t}$

Aplicando o teorema da convolução:

$\phi (x,t)=\Phi (x){\mathcal {F}}^{-1}\left[e^{-k^{2}\nu t}\right]={\frac {1}{2{\sqrt {\pi \nu t}}}}\int _{-\infty }^{\infty }\Phi (y)e^{\frac {(x-y)^{2}}{4\nu t}}dy$

$\implies \phi (x,t)={\frac {1}{2{\sqrt {\pi \nu t}}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {f}{2\nu }}}dy$

Onde:

$f(x,y,t)={\frac {1}{2\nu }}\int _{0}^{y}F(s)ds+{\frac {(x-y)^{2}}{2t}}$

Em $u$ :

$\rightarrow u(x,t)=-{\frac {2\nu }{\phi (x,t)}}\left({\frac {\partial \phi (x,t)}{\partial x}}\right)$

$\implies u(x,t)={\frac {\int _{-\infty }^{\infty }\left({\frac {x-y}{t}}\right)e^{-{\frac {f}{2\nu }}}dy}{\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {f}{2\nu }}}dy}}$

Modelo de Deposição - Crescimento de Interfaces

Figura 1: Modelo de deposição balística (pertencente à família dos modelos KPZ). O modelo é como um tetris onde os blocos caem e se fixam no primeiro contato. ^[5].

Um exemplo de aplicação é no crescimento de interfaces por deposição, já que a equação de Burgers é equivalente a equação conhecida como, equação de Kardar-Parisi-Zhang (equação KPZ), um modelo de crescimento de uma superfície sólida por deposição de vapor (ou erosão de material de uma superfície sólida), que mostra a evolução da altura da camada com o tempo ^[6].

${\frac {\partial }{\partial t}}h(x,t)-{\frac {1}{2}}\left(\nabla h(x,t)\right)^{2}=\nu {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}h(x,t)+F(x,t)$

A equação é obtida a partir da equação de advecção simples para uma superfície $z=h(x,t)$ se movimentando com velocidade $U(x,t)$ :

${\frac {\partial }{\partial t}}h(x,t)+U\cdot \nabla h(x,t)=0$

A velocidade é assumida como sendo proporcional ao gradiente de $h(x,t)$ (superfície evolui na direção do gradiente). A difusão da superfície é descrita pelo termo de difusão.

A equação KPZ é obtida a partir da equação Burgers, no passo imediato à aplicação da transformação de Hopf-Colem.

Solução para uma Onda Viajante

Um dos grandes obstáculos com a programação de um modelo biológico com variáveis discretas é o processamento de grandes quantidades de dados. Conforme o tempo de simulação aumenta e as redes de hifas se tornam maiores e mais complexas, a quantidade de informação processada aumenta exponencialmente e, devido a esse fato, algumas características típicas do desenvolvimento de fungos citadas na primeira seção foram deixadas de lado para a construção de nosso modelo computacional (como a ramificação lateral e a translocação). No entanto, os mecanismos essenciais para o bom funcionamento da simulação foram mantidos e serão abordados mais profundamente nessa seção.