Medidas estáticas
Em dinâmica molecular, medidas estáticas são medidas que
Psi 6
Teoria
No estudo do agrupamento de pontos equidistantes em um espaço 2D, é possível provar matematicamente que o formato formado pelos pontos que maximiza a utilização do espaço é o padrão hexagonal. Para dinâmicas moleculares com potenciais de Lennard-Jones com densidade suficientemente alta (rho ~) é possível observar que o padrão formado após o relaxamento (tempo suficiente para a rede se estabilizar) é de fato o padrão hexagonal.
O psi 6 é uma análise de o quão hexagonal um padrão de posições está em um certo tempo da simulação. É possível associar a cada partícula um valor que varia entre -1 e 1 da hexagonalidade do padrão de posições formado por ele e seus primeiros vizinhos (conjunto de partículas mais próximas). Com essa medida é possível quantificar diferentes regiões da "caixa" em que as partículas estão localizadas e então localizar possíveis "defeitos" no padrão hexagonal.
Para um padrão hexagonal perfeito, cada partícula apresenta 6 primeiros vizinhos, cada qual posicionado simetricamente em torno dessa. Analisando a simetria, cada vizinho consecutivo deve apresentar um ângulo de . Buscando uma relação em que esta situação seja a situação de , é possível definir que o vale:
Onde i é o índice do i-ésimo vizinho e n é o número de primeiros vizinhos. Esta relação deixa específico que o caso de 6 primeiros vizinhos e resulte em um valor de .
Implementação Computacional
Pode-se separar a implementação computacional em dois procedimentos necesssários: Encontrar os primeiros vizinhos para cada partícula e então calcular, de fato, o valor de
Encontrando vizinhos
Por definição, os primeiros vizinhos de uma partícula são aquelas partículas que estão presentes em um anel mais próximo dela, como mostra a fig.
O problema de encontrar primeiros vizinhos é um problema bastante discutido em teoria da computação e diversos métodos foram desenvolvidos para efetuar esta tarefa. Desta forma a maioria dos métodos otimizados são de difícil implementação e então não serão tratados nesse verbete. Se o leitor tiver interesse, entretanto, são recomendados as seguintes referências:
O método aqui citado é pouco otimizado, pois utiliza-se um for em , porém de implementação razoavelmente simples. O método consiste em encontrar as 6 partículas mais próximas da partícula-teste (partícula em que busca-se calcular o valor de ), desta forma o valor de resultará em um valor razoável ( >0.8 ) se os 6 vizinhos são de fato os primeiros vizinhos e estão localizados em um padrão quase-hexagonal em torno da partícula-teste.
Define-se dois vetores chamados neighborsX,neighborsY e dNeighbors, que guardarão as posições X,Y e a distância do i-ésimo vizinho. Então os valores iniciais destes vetores recebem valores altos em relação as medidas da caixa (neste exemplo utilizou-se 20 para os dois lados), da seguinte forma:
int i; double neighborsX[6],neighborsY[6]; for(i=0;i<6;i++){ neighborsX[i]=999; neighborsY[i]=999; dNeighbors[i]=999; }
Após, realizar-se-á a busca pelas 6 partículas mais próximas da partícula-teste, como queremos calcular para todas as partículas (NP) presentes na simulação, faremos um "for" em guardando as posições das duas partículas, é importante resetar os valores de dNeighbors toda vez que começa-se para outra partícula teste:
for(i=0;i<NP;i++){ xOrg=xx[i]; yOrg=yy[i]; for(j=0;j<6;j++){ dNeighbors[j]=999.; } for(j=0;j<NP;j++){ x2=xx[j]; y2=yy[j];
if(i!=j){ if(distance(xOrg,yOrg,x2,y2)<radiusLimit) { dNew=distance(x2,y2,xOrg,yOrg); dOld=0; for(k=0;k<6;k++){ if(dNeighbors[k]>dOld){ dOld=dNeighbors[k]; index=k; } } if(dNew<dOld){ neighborsX[index]=x2; neighborsY[index]=y2; dNeighbors[index]=dNew; } } } }
Pair Distribution Function
A Pair Distribution Function , ou "", é uma função que estima o quão provável é encontrar duas partículas a uma distância dentro de um sistema de várias partículas.
Em um sistema de partículas, o é definido como a média do número de partículas a uma distância :
Numéricamente pode ser interpretado como a média do número de pares de partículas a uma distância entre e pesado pelo volume/área desta região.
Onde é o/a volume/área total e é a função retangular.
Em resumo, o é a média dos histogramas do número de partículas em um bin de largura a uma feitos para cada partícula no sistema pesado pelo volume/área deste bin.
Construção do Código
Resultados
Referências
- Frenkel, Daan and Smit, Berend (2001). Understanding Molecular Simulation. Academic Press.