Termostato de Nosé-Hoover

Grupo: Gabriel Azevedo, Rafael Abel e Thierre F. Conceição.

Termostato de Nosé-Hoover

O termostato de Nosé-Hoover é um algoritmo utilizado para simulação de dinâmica molecular. Esse ensemble é relevante quando o sistema em estudo está em contato com um banho térmico, para manter a temperatura constante. A maneira que o algoritmo de Nosé-Hoover mantém a temperatura constante é a partir da adição de uma variável dinâmica fictícia (um "agente" externo), que atua sobre as velocidades das partículas no sistema, as acelerando ou desacelerando até que estas atinjam a temperatura desejada.

ADICIONAR O RESTO DAS INFORMAÇÕES E TAMBÉM INFOS SOBRE LJ

Método

Termostato de Nose

Para entender o termostado de Nóse-Hoover, primeiramente será mostrado o termostato de Nosé.

Este termostato atribui coordenadas generalizados adicionais $s$ e o seu momento conjugado $p_s$ ao banho térmico. O fator $s$ é definido como um fator de escala das velocidades, onde:

$\dot{\mathbf{𝐯}}=s\dot{\mathbf{𝐫}}=s\mathbf{𝐩}/m$

E também são definidas as energia potenciais e cinética associadas a $s$ como:

${{𝒰}}_s=(N_f+1)k_{B}Tln(s)$ e ${{𝒦}}_s=\frac{1}{2}Q{\dot{s}}^2=\frac{p_s^2}{2Q}$

onde $Q$ é entendido como a "inércia térmica", ele determina a escala do tempo da flutuação de temperatura.

O Lagrangiano do sistema extendida (consistente das partículas e do banho térmico) então é postulado como:

${ℒ}={𝒦}+{{𝒦}}_s-{𝒰}-{{𝒰}}_s=\sum _i\frac{{\mathbf{𝐩}}_i^2}{2m_i{s}^2}+\frac{p_s^2}{2Q}-{𝒰}(\mathbf{𝐫})-(N_f+1)k_{B}Tln(s)$

Como não é explicitamente dependente do tempo:

${{\mathscr{H}}}_N={𝒦}+{{𝒦}}_s+{𝒰}+{{𝒰}}_s=\sum _i\frac{{\mathbf{𝐩}}_i^2}{2m_i{s}^2}+\frac{p_s^2}{2Q}+{𝒰}(\mathbf{𝐫})+(N_f+1)k_{B}Tln(s)$

Como ${{\mathscr{H}}}_N$ se conserva, esse sistema é numericamente estável

Assim, as equações de movimento podem ser deduzidas:

${\dot{\mathbf{r}}}_i=\frac{\partial {{\mathscr{H}}}_N}{\partial {\mathbf{𝐩}}_i}={\mathbf{𝐩}}_i/(m_i{s}^2)$

$\dot{\mathbf{p}}=-\frac{\partial {{\mathscr{H}}}_N}{\partial {\mathbf{𝐫}}_i}={\mathbf{𝐟}}_i$ onde $f$ é o número de graus de liberdade do sistema;

$\dot{s}=\frac{\partial {{\mathscr{H}}}_N}{\partial p_s}=p_s/Q$

${\dot{p}}_s=-\frac{\partial {{\mathscr{H}}}_N}{\partial s}=\sum _i\frac{{\mathbf{𝐩}}_i^2}{m_i{s}^3}-(N_f+1)k_{B}T/s$

Assim, o termostato de Nose pode ser tratado como um sistema de partículas junto a um banho térmico como um ensemble NVE. Entretanto, neste sistema, $Q$ precisa ser determinado por tentativa e erro. Caso o valor escolhido seja muito pequeno, o sistema possuirá muitas oscilações, logo é necessário aumentar o valor de $Q$, porém caso o valor escolhido seja muito alto, o tempo para atingir equilíbrio térmico será demasiadamente longo. Outro problema do termostato de Nose é o fato de que, por as velocidades serem escaladas com o $s$, o tempo também será escalado com $s$, o que não acontece em sistemas reais e extendidos.

Termostato de Nosé-Hoover

Para contornar esses problemas, Hoover utilizou uma parametrização diferente, sem o termo $s.$ . O parâmetro $s$ pode ser removido das equações reescrevendo-as utilizando $\mathbf{𝐫}$, $\dot{\mathbf{r}}$ e $\ddot{\mathbf{r}}$. Assim, as equações de movimento do termostato de Nosé-Hoover são:

$\dot{\mathbf{r}}={\dot{p}}_i/m_i$

$\dot{\mathbf{p}}={\mathbf{𝐟}}_i-\xi {\mathbf{𝐩}}_i={\mathbf{𝐟}}_i\frac{p_{\eta }}{Q}{\mathbf{𝐩}}_i$

$\dot{\eta }=(\sum _i{p}_i^2/m_i-L/\beta )/Q$ onde $\eta$ agora é o termo relacionado a fricção do banho térmico.

ADICIONAR EQUAÇÕES DAS CADEIAS DE NOSE HOOVER

Programas Utilizados

/*Simulação de DM de um fluido de Lennard-Jones com termostato Nose-Hoover Compile usando "gcc -o NVT_NH NVT_NH.c -lm -lgsl" */
/*********************************************/  
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
  
return 0;  
}