Simulação de Micélio de Fungo

Grupo: Arthur Dornelles, Bruno Zanette, Gabriel De David e Guilherme Hoss

O objetivo deste trabalho é modelar computacionalmente o desenvolvimento de micélios em fungos com base em mecanismos gerais pré-estabelecidos. O progresso e a complexidade dos modelos cresceram de maneira gradual ao longo do trabalho através de três modelos de crescimento diferentes. O trabalho foi inspirado - principalmente - nos dois primeiros capítulos do artigo de Steven Hopkins .

Motivação e Introdução aos Fungos

Figura 1: Ilustração da estrutura de um fungo. .

Figura 2: Processos de ramificação de fungos. À esquerda a ramificação dicotômica (Dichotomous) e à direita o processo de ramificação lateral .

Fungos estão integrados em grande parte dos ecossistemas do planeta e cumprem importantes funções na manutenção e sobrevivência dos mesmos. De maneira geral, eles produzem enzimas que são responsáveis pela decomposição de matéria orgânica e - portanto - a reciclagem de diversos nutrientes do ambiente ao seu redor . Em muitos casos, fungos formam fusões simbióticas com plantas ou algas e interagem de diferentes maneiras com diferentes organismos vivos. Neste trabalho, todavia, não faremos a análise dessas interações e focaremos no comportamento individual de crescimento de fungos.

Anatomicamente, fungos são compostos por células que se assemelham a tubos microscópicos, denominadas de hifas. Essas hifas então se ramificam e se fundem umas com as outras em um processo chamado de anastomose, formando uma complexa rede chamada de micélio (figura 1).

A criação de novas hifas, em geral, ocorre ao longo do tempo através de dois processos principais: o primeiro, denominado de ramificação dicotômica, consiste na ponta de uma hifa já existente se dividindo ao meio. O segundo processo é chamado de ramificação lateral, no qual, como o nome sugere, formam-se novos ramos e hifas na lateral de uma hifa já existente, como pode ser visto na figura 2.

Tendo em vista o objetivo deste trabalho, é importante também entender o porquê e quando as ramificações citadas acimas ocorrem, para que possamos programá-las em nosso modelo computacional. A ramificação, portanto, é atribuída ao acúmulo de partículas de nutrientes e materiais no ambiente, o que estimula a extensão das hifas dos fungos em sua direção. Dessa maneira, o crescimento e desenvolvimento dos fungos são altamente dependentes e influenciados pela disponibilidade de nutrientes e materiais no ambiente ao seu redor. Apesar desse fato, fungos podem continuar se desenvolvendo até em ambientes com poucos nutrientes, devido ao processo de translocação, no qual os nutrientes previamente absorvidos pelo fungo podem ser transportados internamente, bancando o crescimento do mesmo em locais com deficiência de nutrientes .

Mecanismos Gerais dos Modelos

Um dos grandes obstáculos com a programação de um modelo biológico com variáveis discretas é o processamento de grandes quantidades de dados. Conforme o tempo de simulação aumenta e as redes de hifas se tornam maiores e mais complexas, a quantidade de informação processada aumenta exponencialmente e, devido a esse fato, algumas características típicas do desenvolvimento de fungos citadas na primeira seção foram deixadas de lado durante a construção de nosso modelo computacional (como a ramificação lateral e a translocação). No entanto, os mecanismos essenciais para o bom funcionamento da simulação foram mantidos e serão abordados mais profundamente nessa seção.

Crescimento

Fungos possuem - nas pontas de suas hifas - uma estrutura chamada de Spitzenkörper (corpo superior em alemão). Essa estrutura possui a função de orientar a hifa em seu crescimento e de transformar todo o material de crescimento (nutriente) encontrado em material para as paredes de seus tubos, o que leva à expansão de tamanho do fungo . Por isso, tipicamente, as hifas dos fungos crescem de maneira apical (em suas pontas) e em linha reta, possuindo baixa variação em sua orientação e, quando há variação, as mudanças no ângulo de crescimento ocorrem devido a uma deslocação do Spitzenkörper. Estudos anteriores demonstram que essas variações na angulação são - para certas espécies - normalmente distribuídas . A espécie Mucor hiemalis, por exemplo, possui uma angulação média de 56° e desvio padrão de 17° . Como comentado anteriormente, a concentração de substrato (nutrientes) presente no local da ponta da hifa irá determinar se a expansão da mesma irá ocorrer ou não. Por isso, computacionalmente, a extensão das hifas é modelada de maneira que a concentração de nutrientes na ponta de um hifa arbitrária é checada e, caso haja substrato o suficiente (é determinado um limiar de acordo com a espécie de fungo), o crescimento da hifa segue adiante, caso contrário ele permanece estagnado. Além disso, a orientação do ângulo de crescimento é dependente da orientação inicial da hifa e de um fator aleatório dependente da espécie a ser analisada.

Figura 3: O processo de anastomose pode ocorrer de duas maneiras distintas. À esquerda, anastomose de duas pontas separadas (Tip to Tip Anastomosis). À direita, a anastomose de uma ponta com uma hifa (Tip to Hypha Anastomosis) .

Divisão e Anastomose

Os dois tipos de divisões - ou ramificações - citadas anteriormente na seção introdutória variam entre as diferentes espécies de fungo e - da mesma maneira que o crescimento por expansão das hifas - são altamente dependentes da alta concentração de nutrientes em seu ambiente. Além disso, a absorção de novos nutrientes através do Spitzenkörper resulta em uma pressão de Turgor (ou pressão hidrostática) nas paredes internas do fungo, o que também influencia diretamente no processo de ramificação das hifas . Conforme o crescimento do fungo ocorre e suas ramificações acontecem, o processo de encontro e fusão das pontas das hifas dos fungos citado na primeira seção (anastomose) começa a ocorrer. Este processo também pode ocorrer de diferentes maneiras, como pode ser visto na figura 3. Após a ocorrência de ambos os processos, as hifas - agora juntas umas das outras - passam a permitir a transmissão de substâncias internamente entre si. Computacionalmente e de maneira similar ao crescimento, as divisões também dependem da quantidade de nutrientes presentes no local de possível ramificação e - além disso - dependem de um fator de ângulo aleatório dependente da espécie simulada. A anastomose, por outro lado, possui uma programação mais complexa e utiliza o método de intersecção de linhas, que será mais aprofundado na próxima seção.

Formulação Matemática e Implementação

Utilizando as informações biológicas apresentadas nas seções anteriores, é possível criar funções matemáticas e computacionais para a programação dos aspectos fundamentais de uma simulação de micélio de fungos.

• Funções:

O Crescimento e divisão dependem do ângulo do segmento originário, uma forma de consegui-lo é através da equação:

$\theta =arctan\left({\frac {y_{f}-y_{i}}{x_{f}-x_{i}}}\right)$

É importante lembrar que para x negativos deve-se somar $\pi$. Esse cálculo, nas duas funções, implementa-se assim:

x = x2 - x1
y = y2 - y1
 
theta= np.arctan(y/x)
  
if (x<0) :
  theta= theta+ math.pi
  
aleatorio_theta = random.normalvariate(0, math.pi/4) # angulo de 
  
theta=theta+aleatorio_theta

Crescimento

Soma-se este ângulo com um número aleatório normalmente distribuído com média zero e sigma dependente de dados estatísticos advindos da observação do fungo que pretende-se modelar. Agora com o ângulo modificado podemos adquirir um x e y final para o novo segmento com $r\cos(\theta )$ e $r\sin(\theta )$ respectivamente, onde r é uma variável global que representa o tamanho de cada hifa.

def crecimento (x1,y1,x2,y2):
  x = x2 - x1
  y = y2 - y1
 
  theta= np.arctan(y/x)

  
  if (x<0) :
    theta= theta+ math.pi
  
  aleatorio_theta = random.normalvariate(0, math.pi/4) # angulo de 
  
  theta=theta+aleatorio_theta

  addx = r * math.cos(theta)
  addy = r * math.sin(theta)
  

  fx = x2 + addx
  fy = y2 + addy 


  return (fx,fy)

Divisão

A divisão trabalha com uma ideia similar ao crescimento, porém o ângulo aleatório normalmente distribuído é o ângulo que separa as duas hifas criadas

 def divisao (x1,y1,x2,y2):
  x = x2 - x1
  y = y2 - y1
  
  theta= np.arctan(y/x)

  if (x<0) :
    theta= theta + math.pi

  angulodivisao= random.normalvariate(0, math.pi/4) 

  angulo1= theta- angulodivisao/2
  angulo2= theta+ angulodivisao/2

  addx1 = r * math.cos(angulo1) 
  addy1 = r * math.sin(angulo1) 

  addx2= r * math.cos(angulo2) 
  addy2= r * math.sin(angulo2) 
  
  Ax = x2 + addx1
  Ay = y2 + addy1
  
  Bx = x2 + addx2
  By= y2 +addy2

  return (Ax,Ay,Bx,By)

Intersecção de Linhas e Anastomose

A cada novo crescimento ou divisão, devemos verificar se há cruzamento entre algumas das linhas. Uma forma de tornar o código mais eficiente seria um algorítimo de detecção de cruzamentos que desconsiderasse alguns segmentos que estão muito longe na hora de calcular.

A interseção $P=\{P_{x},P_{y}\}$ de duas linhas $L_{1}$ e $L_{2}$ pode ser definida utilizando determinantes dados dois pontos em cada linha. Portanto, podemos descobrir se a linha $L_{1}$ definida por dois pontos distintos $(x_{1},y_{1})$ e $(x_{2},y_{2})$, e a linha $L_{2}$ definida por dois pontos distintos $(x_{3},y_{3})$ e $(x_{4},y_{4})$ se intersectam calculando as seguintes equações matriciais:

Trata-se as linhas como uma curva de Bézier de primeiro grau:

$L_{1}={\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{bmatrix}}+U_{a}{\begin{bmatrix}x_{2}-x_{1}\\y_{2}-y_{1}\end{bmatrix}},\qquad L_{2}={\begin{bmatrix}x_{3}\\y_{3}\end{bmatrix}}+U_{b}{\begin{bmatrix}x_{4}-x_{3}\\y_{4}-y_{3}\end{bmatrix}}$

Onde $U_{a}$ e $U_{b}$ são números reais definidos como:

$U_{a}={\frac {\begin{vmatrix}x_{1}-x_{3}&x_{3}-x_{4}\\y_{1}-y_{3}&y_{3}-y_{4}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}-x_{2}&x_{3}-x_{4}\\y_{1}-y_{2}&y_{3}-y_{4}\end{vmatrix}}}={\frac {(x_{1}-x_{3})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{3})(x_{3}-x_{4})}{(x_{1}-x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}-x_{4})}}$

$U_{b}={\frac {\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&x_{1}-x_{3}\\y_{2}-y_{1}&y_{1}-y_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}-x_{2}&x_{3}-x_{4}\\y_{1}-y_{2}&y_{3}-y_{4}\end{vmatrix}}}={\frac {(x_{2}-x_{1})(y_{1}-y_{3})-(y_{2}-y_{1})(x_{1}-x_{3})}{(x_{1}-x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}-x_{4})}},$

E o ponto de intersecção:

$(P_{x},P_{y})=(x_{1}+U_{a}(x_{2}-x_{1}),\;y_{1}+U_{a}(y_{2}-y_{1}))\quad {\text{ou}}\quad (P_{x},P_{y})=(x_{3}+U_{b}(x_{4}-x_{3}),\;y_{3}+U_{b}(y_{4}-y_{3}))$

O ponto de interseção cai dentro do segmento da primeira linha se $0\leqslant U_{a}\leqslant 1$, e cai dentro do segmento da segunda linha se $0\leqslant U_{b}\leqslant 1$.

def check_anastomose(eventos,xf,yf,xi,yi):
  flag = True
  for evento in eventos:
    if (xi == evento[2] and yi == evento[3]):
      continue
    if (xi == evento[0] and yi == evento[1]):
      continue
    D = (evento[3]-evento[1])*(xf-xi) - (evento[2]-evento[0])*(yf-yi)
    uA = ((evento[2]-evento[0])*(yi-evento[1]) - (evento[3]-evento[1])*(xi-evento[0]))/D
    uB = ((xf-xi)*(yi-evento[1])-(yf-yi)*(xi-evento[0]))/D
    flag = True
    if (0<=uA<=1) and (0<=uB<=1):
      flag = False
    if not flag:
      xf, yf = get_intersection_point(uA,xf,yf,xi,yi)
      break
  return xf,yf, flag

Os primeiros dois ifs identifica se a hifa a qual essa foi originada é quem está sendo calculada. Se não há cruzamento temos que flag = False, o que significa que a hifa pode continuar crescendo, caso haja ponto de intersecção é chamada a get_intersection_point para encontrar o ponto:

def get_intersection_point(uA,xf,yf,xi,yi):
  xf = xi + (uA * (xf-xi))
  yf = yi + (uA * (yf-yi))
  return xf,yf

Mapa de Nutrientes

Um mapa de nutriente (Figura 4) é definido como uma matriz que armazena o valor de nutriente em cada ponto identificado pela matriz X e Y, o mapa de nutrientes implementado foi um mapa discreto, ao contrário do artigo que implementou um mapa contínuo.

Figura 4: Exemplo de mapa de nutriente

$MN=\left[{\begin{matrix}0.99977783&0.97620649&0.99977783\\0.97620649&0&0.97620649\\0.99977783&0.97620649&0.99977783\end{matrix}}\right]\quad X=Y=[{\begin{matrix}-30&0&30\end{matrix}}]$

Logo, é necessário encontrar em qual "quadrado" de nutriente a posição do final da hifa está. Para isto usa-se uma função (find_nearest) que encontra o valor mais próximo de x e y no array que representa o mapa de nutriente:

def find_nearest(array, value):
    array = np.asarray(array)
    idx = (np.abs(array - value)).argmin()
    return array[idx]

Portanto, a função check_nutri que retorna a quantidade de nutrientes disponível utiliza a find_nearest para encontrar o index do ponto que é também o do nutriente no ponto na matriz mapa_nutri:

def check_nutri(x,y,xmapa,ymapa,mapa_nutri):
  
  near_x = find_nearest(xmapa,x) ## encontra valor mais próximo em x
  near_y = find_nearest(ymapa,y) ## encontra valor mais próximo em y

  index_x = np.where(xmapa == near_x) ## encontra o index do valor de x
  index_y = np.where(ymapa == near_y) ## encontra o index do valor de y

  return (mapa_nutri[index_y[0][0]][index_x[0][0]])

A função atualiza_mapa_nutri funciona de maneira similar a check_nutri porém essa recebe recebe também a variável preco que representa o custo de uma ação. Para nossa situação as únicas situações que custam nutrientes são o crescimento e a divisão, 0.01 e 0.3 respectivamente. A função então retorna o mapa de nutriente atualizado:

def atualiza_mapa_nutri(x,y,xmapa,ymapa,mapa_nutri,preco):

  near_x = find_nearest(xmapa,x) ## encontra valor mais próximo em x
  near_y = find_nearest(ymapa,y) ## encontra valor mais próximo em y

  index_x = np.where(xmapa == near_x) ## encontra o index do valor de x
  index_y = np.where(ymapa == near_y) ## encontra o index do valor de y
  
  mapa_nutri[index_y[0][0]][index_x[0][0]] -= preco

  return (mapa_nutri)

Discussão de Resultados

Após a implementação bem sucedida dos códigos listados na seção anterior, foi possível plotar os resultados obtidos através do programa e analisá-los.

Figura 4: simulação do crescimento das hifas de um fungo após 3000 iterações.

Figura 5: mapa de nutrientes utilizado para obtenção da simulação 1.

Figura 6: simulação do crescimento das hifas de um fungo após 90000 iterações.

Figura 7: mapa de nutrientes utilizado para obtenção da simulação 2.

Figura 8: 5 etapas da simulação de crescimento das hifas de um fungo.

Figura 9: mapa de nutrientes utilizado para obtenção da simulação 3.