Grupo: Leonardo Barcelos, Luana Bianchi e Rubens Borrasca
O objetivo deste trabalho é implementar o modelo de Keller-Segel, que originalmente descreve chemotaxis: movimento de organismo em direção ou contra algum sinal químico, para um sistema englobando população e atividade econômica. O método computacional utilizado para resolver o problema e implementar o modelo foi o FTCS (Forward Time Centered Space).
Modelo de Keller-Segel
Proposto por Evelyn Fox Keller, física norte-americana, e Lee Aaron Segel, matemático também norte-americano, o modelo de Keller-Segel foi historicamente utilizado para descrever o movimento de bactérias. Introduzido primeiramente em 1970 para descrever a agregação de uma espécie de bolor limoso (ou slime mold) ameboide, Dictyostelium discoideum, o modelo se tornou um dos mais usados nos estudos biológicos-matemáticos. As células deste slime mold se comportam como amoebas individuais, e se alimentam de bactérias, mas quando a quantidade de comida fica pequena, elas se difundem pelo espaço e então se agregam em formato mais alongado, como o formato das lesmas, para uma migração de longa distância. Keller e Segel desenvolveram um modelo matemático para o processo de agregação, em que a chemotaxis tem papel crítico na auto-ormanização das células.
Baseados no que já era conhecido sobre esses organismos, Keller e Segel utilizaram as seguintes premissas:
- As células estão inicialmente distribuídas sobre o espaço de maneira mais ou menos homogênea, com algumas flutuações aleatótias;
- As células apresentam chemotaxis em direção ao sinal químico denominado cAMP (cyclic adenosine monophosphate);
- As células produzem moléculas cAMP;
- As células e as moléculas cAMP difundem pelo espaço;
- As células não morrem e não se dividem
De forma simplificada, ocultando alguns detalhes biológicos mais complicados a equação de Keller-Segel é a seguinte:
![{\displaystyle {\frac {\partial a}{\partial t}}=\mu \nabla ^{2}a-\chi \nabla \cdot (a\nabla c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/304b754cb137d344a5991b99a46261ef0e762715)
![{\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=D\nabla ^{2}c+fa-kc}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37455a4b6b206ca5fb562c0b064aa9127ad4e347)
em que
e
são respectivamente as variáveis de estado para a concentração de células e a concentração de cMAP.
é o parâmetro de mobilidade das células,
é o parâmetro da chemotaxis celular,
é a constante de difusão das moléculas cAMP,
é a taxa de secreção de cMAP pelas células, e
é a taxa de decaimento das moléculas cMAP.
Aplicação população-economia
De forma parecida com as premissas de Keller e Segel, os seguintes pontos são assumidos para modelar a relação entre a população e a atividade econômica:
- A população não cresce e não decresce ao longo do tempo;
- A economia é ativada por existir mais pessoas em uma região;
- Sem pessoas a atividade econômica diminui;
- População e atividade econômica difundem gradualmente;
- As pessoas são atraídas por regiões com maior atividade econômica
Traduzindo estes pontos em equações matemáticas, se obtêm as seguintes equações:
![{\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}=D_{p}\nabla ^{2}p-\gamma \nabla \cdot (p\nabla m)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bef69a3a0a4876c95f0b59e55a15ce8cee9c578)
![{\displaystyle {\frac {\partial m}{\partial t}}=D_{m}\nabla ^{2}m+\alpha p-\beta m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c13ffb65e12d07a3f4d0d401db923e8d1af73888)
em que
representa a população e
a atividade econômica.
é a constante que determina a taxa de produção de atividade econômica per capita,
é a constante da taxa de decaimento da atividade econômica,
e
são as constantes de difusão da população e da economia respectivamente, e
é a constante que afeta a velocidade média do movimento da população.
Comparando o sistema obtido com o problema original de Keller-Segel, percebe-se que se trocarmos células por pessoas e cMAP por atividade econômica os problemas ficam iguais, e até se poderia denominar como moneytaxis a migração das pessoas em direção a atividade econômica, como a chemotaxis descreve o movimento das células em direção ao cAMP.
Método FTCS
O FTCS (Forward Time Centered Space, em tradução livre significa "avançado no tempo, centrado no espaço), é um método de discretização de Equações Diferenciais Parciais(EDP). Para a derivada temporal teremos,
![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}\rightarrow {\frac {f^{n+1}-f^{n}}{\Delta t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0a13beb23a8ec7423fdbb8d0e3cc134ad2cb5d2)
e para a parte espacial,
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial s^{2}}}\rightarrow {\frac {f_{i-1}-2f_{i}+f_{i+1}}{(\Delta s)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2a8eed0fe5e59046d24e8a9ac2f069838160c49)
onde
é uma variável espacial qualquer
e
é o tempo.
Discretização do Modelo de Keller-Segel em 1D
Em 1D o sistema de equações diferenciais parciais será:
![{\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}=D_{p}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}-\gamma \left[{\frac {\partial p}{\partial x}}{\frac {\partial m}{\partial x}}+p{\frac {\partial ^{2}m}{\partial x^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cba4788761ccefa896a4a00da03e1b3b19aa4627)
![{\displaystyle {\frac {\partial m}{\partial t}}=D_{m}{\frac {\partial ^{2}m}{\partial x^{2}}}+\alpha p-\beta m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9024132411e634b28729b0a1e89ee1cc4636c842)
Agora utilizando a discretização FTCS teremos:
![{\displaystyle {\frac {p_{i}^{n+1}-p_{i}^{n}}{\Delta t}}={\frac {D_{p}}{(\Delta x)^{2}}}\left[p_{i-1}^{n}-2p_{i}^{n}+p_{i+1}^{n}\right]-{\frac {\gamma }{(\Delta x)^{2}}}\left[(p_{i+1}^{n}-p_{i}^{n})(m_{i+1}^{n}-m_{i}^{n})+p_{i}^{n}(m_{i-1}^{n}-2m_{i}^{n}+m_{i+1}^{n})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b52e535fada960529c11d2110ccb600a42d58df)
![{\displaystyle {\frac {m_{i}^{n+1}-m_{i}^{n}}{\Delta t}}={\frac {D_{m}}{(\Delta x)^{2}}}\left[m_{i-1}^{n}-2m_{i}^{n}+m_{i+1}^{n}\right]+\alpha p_{i}^{n}-\beta m_{i}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58c5a962c151afb1c7a3b61679fd40a64ad0edb1)
onde o sub-índice
se refere à coordenada
; e o superíndice
se refere ao tempo. Reorganizando as equações e agrupando alguns termos teremos:
![{\displaystyle p_{i}^{n+1}=p_{i}^{n}\left[1-2K_{1}-K_{2}\left(m_{i-1}^{n}-m_{i}^{n}\right)\right]+K_{1}\left[p_{i-1}^{n}+p_{i+1}^{n}\right]-K_{2}\left[p_{i+1}^{n}(m_{i+1}^{n}-m_{i}^{n})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6ad91e88f8421c5b188dc014fe980bb491abeb8)
![{\displaystyle m_{i}^{n+1}=m_{i}^{n}\left[1-K_{3}-\lambda \right]+K_{3}\left[m_{i-1}^{n}+m_{i+1}^{n}\right]+Vp_{i}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d08ac75b58196fcab08be12887adbb8b603e02d1)
onde os termos agrupados são:
,
,
,
,
Discretização do Modelo de Keller-Segel em 2D
Em 2D o sistema de equações diferenciais parciais será:
![{\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}=D_{p}\left[{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}p}{\partial y^{2}}}\right]-\gamma \left[{\frac {\partial p}{\partial x}}{\frac {\partial m}{\partial x}}+{\frac {\partial p}{\partial y}}{\frac {\partial m}{\partial y}}+p\left({\frac {\partial ^{2}m}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}m}{\partial y^{2}}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b25cc17446116ebdef9bd759e052e57813ff703)
![{\displaystyle {\frac {\partial m}{\partial t}}=D_{m}\left[{\frac {\partial ^{2}m}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}m}{\partial y^{2}}}\right]+\alpha p-\beta m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bb40e6ce3e3cd461c83e63a9922cd69b315578e)
Agora utilizando a discretização FTCS e assumindo que
teremos:
![{\displaystyle {\frac {p_{i,j}^{n+1}-p_{i,j}^{n}}{\Delta t}}={\frac {D_{p}}{(\Delta s)^{2}}}\left[(p_{i-1,j}^{n}-2p_{i,j}^{n}+p_{i+1,j}^{n})+(p_{i,j-1}^{n}-2p_{i,j}^{n}+p_{i,j+1}^{n})\right]-{\frac {\gamma }{(\Delta s)^{2}}}\left[(p_{i+1,j}^{n}-p_{i,j}^{n})(m_{i+1,j}^{n}-m_{i,j}^{n})+(p_{i,j+1}^{n}-p_{i,j}^{n})(m_{i,j+1}^{n}-m_{i,j}^{n})+p_{i,j}^{n}\left((m_{i-1,j}^{n}-2m_{i,j}^{n}+m_{i+1,j}^{n})+(m_{i,j-1}^{n}-2m_{i,j}^{n}+m_{i,j+1}^{n})\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e12d21d8ee071eee454e1ab6079356370e01d43)
![{\displaystyle {\frac {m_{i,j}^{n+1}-m_{i,j}^{n}}{\Delta t}}={\frac {D_{m}}{(\Delta s)^{2}}}\left[(m_{i-1,j}^{n}-2m_{i,j}^{n}+m_{i+1,j}^{n})+(m_{i,j-1}^{n}-2m_{i,j}^{n}+m_{i,j+1}^{n})\right]+\alpha p_{i,j}^{n}-\beta m_{i,j}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd46309e02abfae70ce0590f62668b09b267679)
onde os sub-índices
e
se referem às coordenadas
e
respectivamente; e o superíndice
se refere ao tempo. Reorganizando as equações e agrupando alguns termos teremos:
![{\displaystyle p_{i,j}^{n+1}=p_{i,j}^{n}\left[1-4K_{1}-K_{2}\left(m_{i-1,j}^{n}-2m_{1,j}^{n}+m_{i,j-1}^{n}\right)\right]+K_{1}\left[p_{i-1,j}^{n}+p_{i,j-1}^{n}+p_{i+1,j}^{n}+p_{i,j+1}^{n}\right]-K_{2}\left[p_{i+1,j}^{n}(m_{i+1,j}^{n}-m_{i,j}^{n})+p_{i,j+1}^{n}(m_{i,j+1}^{n}-m_{i,j}^{n})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61b71c76770720e7fa80b6955b8dbd4d6073a9d0)
![{\displaystyle m_{i,j}^{n+1}=m_{i,j}^{n}\left[1-4K_{3}-\lambda \right]+K_{3}\left[m_{i-1,j}^{n}+m_{i,j-1}^{n}+m_{i+1,j}^{n}+m_{i,j+1}^{n}\right]+Vp_{i,j}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44252a75bf68644733f89e82b552e7452d9c328a)
Resultados
1D
Com o intuito de testar melhor a equação e suas consequências, os resultados foram divididos em várias simulações diferentes.
População e Dinheiro em pontos separados
Para esta simulação, considera-se que no tempo 0, toda a população está concentrada em 1 ponto, enquanto todo o dinheiro está em um outro ponto distante.
Os parâmetros utilizados foram:
Resultados da simulação para o caso de população e dinheiro em pontos separados e distantes na malha
Na figura acima, consegue-se observar o resultado da construção do sistema desta maneira.
Com toda a população concentrada em 1 ponto (
), a atividade econômica cresce consideravelmente neste intervalo ao longo do tempo. Em contrapartida, o local que continha todo o dinheiro no começo da simulação (
), em pouco tempo tem a sua renda líquida migrada para onde tem uma densidade populacional maior. Essa tendência indica, portanto, que o sistema é construído de tal forma que a atração da população por regiões de alta renda líquida é menor que a atração do sistema monetário de seguir para pontos de alta densidade populacional.
Além disso, outra observação interessante é que nota-se para
uma tendência inerente da densidade populacional em seguir uma distribuição de shape gaussiano sob a malha. Considerando que a equação que define o movimento populacional com o tempo contém um termo difusivo, e que a solução para uma difusão simples em 1 dimensão também assume um shape gaussiano, este resultado faz sentido. Mas uma coisa interessante é que, depois de se desfazer de seu formato inicial, o total de dinheiro sob a malha tende a seguir a distribuição populacional, porém com um desvio padrão maior (maior abertura na Gaussiana). Essa observação indica que, para centros econômicos (regiões com alto
) a tendência é que suas periferias também possuam valores altos de renda, apesar da população consideravelmente menor. Além disso, para regiões fora do contorno de centros econômicos (distância maior do que 3 vezes o desvio padrão da gaussiana) a atividade econômica é basicamente nula, assim como a densidade populacional. Este último fato descreve de forma genérica e simplista o comportamento atual observado em metrópoles nos dias de hoje: uma cidade grande possui alto número de habitantes, alta renda, seus contornos também apresentam atividade econômica forte (porém menor que o centro), mas para um raio suficientemente grande, tanto dinheiro quanto população caem exponencialmente.
2D
Os parâmetros utilizados para a simulação em 2D foram:
Resultados da simulação para o caso de população e dinheiro em pontos separads e distantes na malha
Discussão
Programas
Referências
Sayama
Scherrer
[1]