Modelo de Turing

EM CONSTRUÇÃO

Equações de Turing

Simulações computacionais que envolvem equações diferenciais parciais (EDP's) são usualmente modeladas através da discretização das variáveis espaciais e temporais. Algumas dessas equações descrevem comportamentos difusivos no sistema, sendo chamadas de equações de difusão. Tais equações envolvem variáveis de estado que apresentam variações temporal e espacial e coeficientes de difusão no sistema, além de outros parâmetros que influenciam na evolução dos estados. Dentro desse ramo de equações, encontra-se o Modelo de Turing, desenvolvido por Alan Turing, que utiliza como base a concentração de espécies em um sistema, avaliando sua reação, difusão e variação espacial e temporal. São muitas as aplicações do modelo, principalmente em ramos como biologia e química, envolvendo problemas com formação de padrões. A seguir, descrevemos sua formulação matemática.

Sejam $u$ e $v$ as concentrações das espécies que serão analisadas. Sejam $a,b,c$ e $d$ parâmetros e $h$ e $k$ constantes. Os coeficientes de difusão são $D_{u}$ e $D_{v}$, cada um associado a uma das concentrações. O Modelo de Turing é dado pelas EDP's

${\frac {\partial {u}}{\partial {t}}}=a(u-h)+b(v-k)+D_{u}\nabla ^{2}u$

${\frac {\partial {v}}{\partial {t}}}=c(u-h)+d(v-k)+D_{v}\nabla ^{2}v$

Note que certa parte de cada equação depende apenas dos parâmetros e das concentrações. Podemos, portanto, utilizar funções de variáveis $u$ e $v$ para descrever o sistema, de modo que

$u_{t}=D_{u}\nabla ^{2}u+f(u,v)$

$v_{t}=D_{v}\nabla ^{2}v+g(u,v)$

Estabilidade e Instabilidade no Modelo de Turing

Pontos de Equilíbrio

Vimos que o modelo de Turing depende de parâmetros $a,b,c,d$, de constantes $h$ e $k$ e dos coeficientes de difusão.

Afirmação: Se $D_{u}=D_{v}=0$, temos ($v_{eq},u_{eq})=(h,k)$ como o único ponto de equilíbrio.

Demonstração: Mostraremos que $(h,k)$ é ponto de equilíbrio. De fato, ao aplicarmos esse ponto na equação do modelo de Turing, temos

$u_{t}{\Bigg |}_{u=k}=0=v_{t}{\Bigg |}_{v=h}$

para mostrar que é único, suponha que existem dois pontos de equilíbrio, a saber, $(v_{1},u_{1})$ e $(v_{2},u_{2})$. Vemos que, como as equações diferenciais em cada ponto fixo são iguais a zero, temos

$a(u_{1}-u_{2})+b(v_{1}-v_{2})=0$

$c(u_{1}-u_{2})+d(v_{1}-v_{2})=0$

Consequentemente, devemos ter

$\left(b-{\frac {ad}{c}}\right)(v_{1}-v_{2})=0\Longrightarrow v_{1}=v_{2}$.

Do mesmo modo, $u_{1}=u_{2}$. Portanto, o ponto de equilíbrio é único nessas circunstâncias.

Estabilidade de Sistemas Reativos-Difusivos

Para estudarmos a estabilidade dos sistemas reativos-difusivos precisamos encontrar os autovalores da matriz

$\left(J-D\omega ^{2}\right){\Bigg |}_{f=f_{eq}}$

Onde $J$ é a matriz jacobiana dos termos de reação, $D$ é a matriz diagonal dos termos de difusão e $\omega$ é o parâmetro que determina a frequência espacial das perturbações. A prova dessa afirmação pode ser encontrada nas referências. Aplicando isso ao modelo de Turing obtemos

$\left(\left({\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right)-\left({\begin{array}{cc}D_{u}&0\\0&D_{v}\end{array}}\right)\omega ^{2}\right){\Bigg |}_{(u,v)=(h,k)}=\left({\begin{array}{cc}a-D_{u}\omega ^{2}&b\\c&d-D_{v}\omega ^{2}\end{array}}\right)$

Para esta matriz ser estável precisamos que o determinante dessa matriz seja positivo e o traço seja negativo. Obtemos então

$0<(a-D_{u}\omega ^{2})(d-D_{v}\omega ^{2})-bc$

$0>a-D_{u}\omega ^{2}+d-D_{v}\omega ^{2}$

Podemos ver que em ambas desigualdades aparecerá o Determinante e o Traço da matriz dos coeficientes de reação. Reescrevendo então obtemos

$aD_{v}\omega ^{2}+dD_{u}\omega ^{2}-D_{u}D_{v}\omega ^{4}<{\text{det}}(J)$

$D_{u}\omega ^{2}+D_{v}\omega ^{2}>{\text{Tr}}(J)$

Se o sistema fosse originalmente estável, isto é, ${\text{Tr}}(J)<0$ e ${\text{det}}(J)>0$ a segunda desigualdade é sempre verdade, mas a primeira não. Podemos ver que a desigualdade pode ser violada se

$g(z)=-D_{u}D_{v}z^{2}+(aD_{v}+dD_{u})z-{\text{det}}(J)$

tomar valores positivos para algum $z>0$ (Onde $z=\omega ^{2}$). Podemos reescrever $g(z)$ da forma

$g(z)=-D_{u}D_{v}\left(z-{\frac {aD_{v}+dD_{u}}{2D_{u}D_{v}}}\right)^{2}+\left({\frac {(aD_{v}+dD_{u})^{2}}{4D_{u}D_{v}}}\right)-{\text{det}}(J)$

Vamos então analisar duas opções onde podemos ter $z>0$: (1) o ponto mais alto da função fica no lado positivo do eixo $z$ ou (2) o ponto mais alto da função fica no no lado negativo do eixo $z$. Na primeira opção (1) a única condição é que o máximo da função seja acima do eixo $z$, logo teremos

${\frac {(aD_{v}+dD_{u})^{2}}{4D_{u}D_{v}}}-{\text{det}}(J)>0$

Se o máximo da função estiver no lado negativo de $z$, opção (2), a condição é que o ponto que interceptar $g(z)$ deve ser positivo, podemos escrever isso da forma

$g(0)=-{\text{det}}(J)>0$

Podemos ver que a opção (2) nunca pode ser obtida, pois o modelo é inicialmente estável e ${\text{det}}(J)>0$, assim a única opção para que a difusão desestabilize o sistema é quando

$aD_{v}+dD_{u}>2{\sqrt {D_{u}D_{v}{\text{det}}(J)}}$

e com essa desigualdade é fácil checar quais valores dos parâmetros $a$, $b$, $c$ e $d$ e dos coeficientes de difusão $D_{u}$ e $D_{v}$ formarão padrões de Turing.

Implementação

Para resolver numericamente as equações de Turing iremos utilizar o método FTCS (Forward Time Central Space). O método FTCS é o mais simples e consiste em discretizar a derivada em $t$ de forma não simetrizada. Obtemos as seguintes discretizações para uma função genérica $f(r,t)$

${\frac {\partial f}{\partial t}}={\frac {f(r,t+dt)-f(r,t)}{dt}}$

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}={\frac {f(r+dr,t)-2f(r,t)+f(r-dr,t)}{dr^{2}}}$

Onde ${\vec {r}}$ é o vetor posição, que neste trabalho utilizamos apenas duas dimensões, ${\vec {r}}=(x,y)$.

Podemos discretizar as equações de Turing diretamente com o método FTCS. Talvez o único problema seja o laplaciano, porém basta escrever da forma

$\nabla ^{2}f(r,t)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}$

Assim podemos utilizar a discretização simetrizada e obter

$\nabla ^{2}f(r,t)={\frac {f(x+dx,t)-2f(r,t)+f(x-dx,t)}{dx^{2}}}+{\frac {f(y+dy,t)-2f(r,t)+f(y-dy,t)}{dy^{2}}}$

Ao tomarmos $dx=dy=dh$, que faremos aqui, podemos simplificar a discretização do laplaciano para

$\nabla ^{2}f(r,t)={\frac {f(x+dh,t)+f(x-dh,t)+f(y+dh,t)+f(y-dh,t)-4f(r,t)}{dh^{2}}}$

Então obtemos que as equações de Turing discretizadas pelo método FTCS, em notação discreta, são dadas por

$u_{i,j}^{n+1}=u_{i,j}^{n}+\left[a(u_{i,j}^{n}-h)+b(v_{i,j}^{n}-k)+D_{u}{\frac {u_{i+1,j}^{n}+u_{i-1,j}^{n}+u_{i,j+1}^{n}+u_{i,j-1}^{n}-4u_{i,j}^{n}}{dh^{2}}}\right]dt$

$v_{i,j}^{n+1}=v_{i,j}^{n}+\left[c(u_{i,j}^{n}-h)+d(v_{i,j}^{n}-k)+D_{v}{\frac {v_{i+1,j}^{n}+v_{i-1,j}^{n}+v_{i,j+1}^{n}+v_{i,j-1}^{n}-4v_{i,j}^{n}}{dh^{2}}}\right]dt$

Onde $i$ e $j$ são os índices espaciais e $n$ é o índice temporal.

Utilizamos uma rede quadrada de tamanho $L\times L$ com condições de contorno periódicas. O sistema inicia próximo do equilibrio $(u,v)=(h,k)$ e então é aplicado um pequeno ruído para começar a difusão. O ruído é muito importante, sem ele o sistema ficaria sempre no equilíbrio. O ruído também deve ser pequeno suficiente para quebrar o estado inicial, mas não grande suficiente para causar instabilidades numéricas na simulação. O ruído utilizado aqui consiste em números aleatórios no intervalo $[-0,003:0,003]$. Tomamos $dh=1/L$.

Resultados e Discussão

Na rede $100\times 100$ escolhendo $(a,b,c,d)=(1,-1,2,-1.5)$ e $(D_{u},D_{v})=(10^{-4},6\times 10^{-4})$, podemos verificar se a desigualdade é respeitada.

$aD_{v}+dD_{u}=4.5\times 10^{-4}$

$2{\sqrt {D_{u}D_{v}{\text{det}}(J)}}\approx 3.464\times 10^{-4}$

A desigualdade é sim respeitada. Abaixo podemos ver a simulação das concentrações de $u$ e de $v$.

Modelo Turing com $(a,b,c,d)=(1,-1,2,-1.5)$ e $(D_{u},D_{v})=(10^{-4},6\times 10^{-4})$
Simulação do Modelo de Turing da concentração de $u$.	Simulação do Modelo de Turing da concentração de $v$.

Quanto mais amarelo maior a densidade, assim como quanto mais roxo menor a densidade. Outra escolha de constantes é $(a,b,c,d)=(0.5,-1,0.75,-1;)$ e $(D_{u},D_{v})=(10^{-4},10^{-3})$. Verificando que a desigualdade é respeitada:

$aD_{v}+dD_{u}=4\times 10^{-4}$

$2{\sqrt {D_{u}D_{v}{\text{det}}(J)}}\approx 3.162\times 10^{-4}$

Novamente respeitamos a desigualdade. Na rede $100\times 100$ obtemos a seguinte simulação das concentrações de $u$ e de $v$.

Modelo de Turing com $(a,b,c,d)=(0.5,-1,0.75,-1;)$ e $(D_{u},D_{v})=(10^{-4},10^{-3})$
Simulação do Modelo de Turing da concentração de $u$.	Simulação do Modelo de Turing da concentração de $v$.

É possível ver que o sistema rapidamente forma um padrão, onde existem algum aglomerados com maior densidade e diversos pontos onde existe baixa densidade. Diferentes conjuntos das constantes e dos coeficientes de difusão formam diferentes padrões.

Podemos estudar também a estudar a razão crítica dos coeficientes de difusão, onde o sistema passa a formar padrões. Definindo um novo parâmetro $\rho =D_{v}/D_{u}$ podemos rearranjar a desigualdade necessária para formar padrões da forma

$a\rho D_{u}+dD_{v}>2{\sqrt {\rho D_{u}^{2}{\text{det}}(J)}}$

$a\rho +d>2{\sqrt {\rho {\text{det}}(J)}}$

Por exemplo, aplicando isso para um conjunto de constantes que simulamos $(a,b,c,d)=(1,-1,2,-1.5)$ chegaremos a

$\rho -1.5>2{\sqrt {0.5\rho }}$

$\rho >4.5$

Isso significa que a difusão de $v$ deve ser quase cinco vezes maior que a difusão de $u$ para gerar os padrões. A difusão de $u$ age mais localmente enquanto a de $v$ age em áreas maiores. Uma transição de fase é observada perto de $\rho =4.5$. Essa transição de fase entre homogenização e formação de padrões é chamada de Bifurcação de Turing .

Programas Utilizados

Programas na linguagem C. Para utilizar os programas, abra o terminal e compile da forma

$ gcc prog.c -lm

Onde prog.c é o programa que deseja utilizar. E execute da seguinte maneira

$ ./a.out PARAMETROS

onde o segundo termo são os parâmetros do sistema, argumento dos programas. Dentro dos programas tem um exemplo de execução. O programa da simulação possuei uma diretiva de compilação para visualização do sistema ao decorrer da execução. Para utilizar é necessário ter o gnuplot instalado e compilar da forma

$ gcc -DGNU prog.c -lm

e então executar da maneira

$ ./a.out PARAMETROS | gnuplot

Estabilidade das Constantes

Simulação do Modelo de Turing