Modelo de Turing

EM CONSTRUÇÃO

Equação de Turing

Simulações computacionais que envolvem equações diferenciais parciais (EDP's) são usualmente modeladas através da discretização das variáveis espaciais e temporais. Algumas dessas equações descrevem comportamentos difusivos no sistema, sendo chamadas de equações de difusão. Tais equações envolvem variáveis de estado que apresentam variações temporal e espacial e coeficientes de difusão no sistema, além de outros parâmetros que influenciam na evolução dos estados. Dentro desse ramo de equações, encontra-se o Modelo de Turing, desenvolvido por Alan Turing, que utiliza como base a concentração de espécies em um sistema, avaliando sua reação, difusão e variação espacial e temporal. São muitas as aplicações do modelo, principalmente em ramos como biologia e química, envolvendo problemas com formação de padrões^[1]. A seguir, descrevemos sua formulação matemática.

Sejam $u$ e $v$ as concentrações das espécies que serão analisadas. Sejam $a, b, c$ e $d$ parâmetros e $h$ e $k$ constantes. Os coeficientes de difusão são $D_{u}$ e $D_{v}$ , cada um associado a uma das concentrações^[2]. O Modelo de Turing é dado pelas EDP's

$\frac{\partial u}{\partial t} = a (u - h) + b (v - k) + D_{u} \nabla^{2} u$

$\frac{\partial v}{\partial t} = c (u - h) + d (v - k) + D_{v} \nabla^{2} v$

Note que certa parte de cada equação depende apenas dos parâmetros e das concentrações. Podemos, portanto, utilizar funções de variáveis $u$ e $v$ para descrever o sistema^[3], de modo que

$u_{t} = D_{u} \nabla^{2} u + f (u, v)$

$v_{t} = D_{v} \nabla^{2} v + g (u, v)$

Estabilidade e Instabilidade no Modelo de Turing

Pontos de Equilíbrio

Vimos que o modelo de Turing depende de parâmetros $a, b, c, d$ , de constantes $h$ e $k$ e dos coeficientes de difusão.

Afirmação: Se $D_{u} = D_{v} = 0$ , temos ( $v_{e q}, u_{e q}) = (h, k)$ como o único ponto de equilíbrio.

Demonstração: Mostraremos que $(h, k)$ é ponto de equilíbrio. De fato, ao aplicarmos esse ponto na equação do modelo de Turing, temos

$u_{t} |_{u = k} = 0 = v_{t} |_{v = h}$

para mostrar que é único, suponha que existem dois pontos de equilíbrio, a saber, $(v_{1}, u_{1})$ e $(v_{2}, u_{2})$ . Vemos que, como as equações diferenciais em cada ponto fixo são iguais a zero, temos

$a (u_{1} - u_{2}) + b (v_{1} - v_{2}) = 0$

$c (u_{1} - u_{2}) + d (v_{1} - v_{2}) = 0$

Consequentemente, devemos ter

$(b - \frac{a d}{c}) (v_{1} - v_{2}) = 0 ⟹ v_{1} = v_{2}$ .

Do mesmo modo, $u_{1} = u_{2}$ . Portanto, o ponto de equilíbrio é único nessas circunstâncias.

Estabilidade de Sistemas Reativos-Difusivos

Para estudarmos a estabilidade dos sistemas reativos-difusivos precisamos encontrar os autovalores da matriz^[2]

$(J - D ω^{2}) |_{f = f_{e q}}$

Onde $J$ é a matriz jacobiana dos termos de reação, $D$ é a matriz diagonal dos termos de difusão e $ω$ é o parâmetro que determina a frequência espacial das perturbações. A prova dessa afirmação pode ser encontrada nas referências. Aplicando isso ao modelo de Turing obtemos

$((\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}) - (\begin{array}{cc} D_{u} & 0 \\ 0 & D_{v} \end{array}) ω^{2}) |_{(u, v) = (h, k)} = (\begin{array}{cc} a - D_{u} ω^{2} & b \\ c & d - D_{v} ω^{2} \end{array})$

Para esta matriz ser estável precisamos que o determinante dessa matriz seja positivo e o traço seja negativo. Obtemos então

$0 < (a - D_{u} ω^{2}) (d - D_{v} ω^{2}) - b c$

$0 > a - D_{u} ω^{2} + d - D_{v} ω^{2}$

Podemos ver que em ambas desigualdades aparecerá o Determinante e o Traço da matriz dos coeficientes de reação. Denotaremos essa matriz por $A$ . Reescrevendo então obtemos

$a D_{v} ω^{2} + d D_{u} ω^{2} - D_{u} D_{v} ω^{4} < det (A)$

$D_{u} ω^{2} + D_{v} ω^{2} > Tr (A)$

Se o sistema fosse originalmente estável, isto é, $Tr (A) < 0$ e $det (A) > 0$ a segunda desigualdade é sempre verdade, mas a primeira não. Podemos ver que a desigualdade pode ser violada se

$g (z) = - D_{u} D_{v} z^{2} + (a D_{v} + d D_{u}) z - det (A)$

tomar valores positivos para algum $z > 0$ (Onde $z = ω^{2}$ ). Podemos reescrever $g (z)$ da forma

$g (z) = - D_{u} D_{v} {(z - \frac{a D_{v} + d D_{u}}{2 D_{u} D_{v}})}^{2} + (\frac{(a D_{v} + d D_{u})^{2}}{4 D_{u} D_{v}}) - det (A)$

Vamos então analisar duas opções onde podemos ter $z > 0$ : (1) o ponto mais alto da função fica no lado positivo do eixo $z$ ou (2) o ponto mais alto da função fica no no lado negativo do eixo $z$ . Na primeira opção (1) a única condição é que o máximo da função seja acima do eixo $z$ , logo teremos

$(\frac{(a D_{v} + d D_{u})^{2}}{4 D_{u} D_{v}}) - det (A) > 0$

Se o máximo da função estiver no lado negativo de $z$ , opção (2), a condição é que o ponto que interceptar $g (z)$ deve ser positivo, podemos escrever isso da forma

$g (0) = - det (A) > 0$

Podemos ver que a opção (2) nunca pode ser obtida, pois o modelo é inicialmente estável e $det (A) > 0$ , assim a única opção para que a difusão desestabilize o sistema é quando

$a D_{v} + d D_{u} > 2 \sqrt{D_{u} D_{v} det (A)}$

Implementação

Para resolver numericamente as equações de Turing iremos utilizar o método FTCS (Forward Time Central Space). O método FTCS é o mais simples e consiste em discretizar a derivada em $t$ de forma não simetrizada. Obtemos as seguintes discretizações para uma função genérica $f (r, t)$

$\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{f (r, t + d t) - f (r, t)}{d t}$

$\frac{\partial^{2} f}{\partial r^{2}} = \frac{f (r + d r, t) - 2 f (r, t) + f (r - d r, t)}{d r^{2}}$

Onde $\vec{r}$ é o vetor posição, que neste trabalho utilizamos apenas duas dimensões, $\vec{r} = (x, y)$ .

Podemos discretizar as equações de Turing diretamente com o método FTCS. Talvez o único problema seja o laplaciano, porém basta escrever da forma

$\nabla^{2} f (r, t) = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}$

Assim podemos utilizar a discretização simetrizada e obter

$\nabla^{2} f (r, t) = \frac{f (x + d x, t) - 2 f (r, t) + f (x - d x, t)}{d x^{2}} + \frac{f (y + d y, t) - 2 f (r, t) + f (y - d y, t)}{d y^{2}}$

Ao tomarmos $d x = d y = d h$ , que faremos aqui, podemos simplificar a discretização do laplaciano para

$\nabla^{2} f (r, t) = \frac{f (x + d h, t) + f (x - d h, t) + f (y + d h, t) + f (y - d h, t) - 4 f (r, t)}{d h^{2}}$

Então obtemos que as equações de Turing discretizadas pelo método FTCS, em notação discreta, são dadas por

$u_{i, j}^{n + 1} = u_{i, j}^{n} + [a (u_{i, j}^{n} - h) + b (v_{i, j}^{n} - k) + D_{u} \frac{u_{i + 1, j}^{n} + u_{i - 1, j}^{n} + u_{i, j + 1}^{n} + u_{i, j - 1}^{n} - 4 u_{i, j}^{n}}{d h^{2}}] d t$

$v_{i, j}^{n + 1} = v_{i, j}^{n} + [c (u_{i, j}^{n} - h) + d (v_{i, j}^{n} - k) + D_{v} \frac{v_{i + 1, j}^{n} + v_{i - 1, j}^{n} + v_{i, j + 1}^{n} + v_{i, j - 1}^{n} - 4 v_{i, j}^{n}}{d h^{2}}] d t$

Onde $i$ e $j$ são os índices espaciais e $n$ é o índice temporal.

Utilizamos uma rede quadrada de tamanho $L \times L$ com condições de contorno periódicas. O sistema inicia próximo do equilibrio $(u, v) = (h, k)$ e então é aplicado um pequeno ruído para começar a difusão. O ruído é muito importante, sem ele o sistema ficaria sempre no equilíbrio. O ruído também deve ser pequeno suficiente para quebrar o estado inicial, mas não grande suficiente para causar instabilidades numéricas na simulação. O ruído utilizado aqui consiste em números aleatórios no intervalo $[- 0, 003 : 0, 003]$ . Tomamos $d h = 1 / L$ .

Resultados

Abaixo podemos visualizar uma simulação da concentração de $v$ na rede $100 \times 100$

Alt text — Simulação do Modelo de Turing da concentração de $v$ . Quanto mais amarelo maior a densidade, assim como quanto mais roxo menor a densidade.

Programas Utilizados

Referências

↑ https://en.wikipedia.org/wiki/Turing_pattern
↑ ^2,0 ^2,1 H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems", p. 260. Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015. Erro de citação: Etiqueta inválida <ref>; Nome "Sayama260" definido várias vezes com conteúdo diferente
↑ J. Jost, "Partial Differential Equations", 3ed, p.140. Springer Science+Business Media, New York, 2013.

[wikipedia1-1] ttps://en.wikipedia.org/wiki/Turing_pattern

[Sayama260-2] 2,0 ^2,1 H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems", p. 260. Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015. Erro de citação: Etiqueta inválida <ref>; Nome "Sayama260" definido várias vezes com conteúdo diferente

[JurgenJost140-3] J. Jost, "Partial Differential Equations", 3ed, p.140. Springer Science+Business Media, New York, 2013.

[1]

[2]

[3]

Modelo de Turing

Índice

Equação de Turing

Estabilidade e Instabilidade no Modelo de Turing

Pontos de Equilíbrio

Estabilidade de Sistemas Reativos-Difusivos

Implementação

Resultados

Programas Utilizados

Referências

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Estabilidade e Instabilidade no Modelo de Turing

Pontos de Equilíbrio

Estabilidade de Sistemas Reativos-Difusivos

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