Modelo de Turing

EM CONSTRUÇÃO

Equação de Turing

Simulações computacionais que envolvem equações diferenciais parciais (EDP's) são usualmente modeladas através da discretização das variáveis espaciais e temporais. Algumas dessas equações descrevem comportamentos difusivos no sistema, sendo chamadas de equações de difusão. Tais equações envolvem variáveis de estado que apresentam variações temporal e espacial e coeficientes de difusão no sistema, além de outros parâmetros que influenciam na evolução dos estados. Dentro desse ramo de equações, encontra-se o Modelo de Turing, desenvolvido por Alan Turing, que utiliza como base a concentração de espécies em um sistema, avaliando sua reação, difusão e variação espacial e temporal. São muitas as aplicações do modelo, principalmente em ramos como biologia e química, envolvendo problemas com formação de padrões. A seguir, descrevemos sua formulação matemática.

Sejam Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} as concentrações das espécies que serão analisadas. Sejam Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b,c} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d} parâmetros e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} constantes. Os coeficientes de difusão são Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_u} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_v} , cada um associado a uma das concentrações. O Modelo de Turing é dado pelas EDP's

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial{u}}{\partial{t}}= a(u-h) + b(v-k) + D_u\nabla^2u}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial{v}}{\partial{t}}= c(u-h) + d(v-k) + D_v\nabla^2v}

Note que certa parte de cada equação depende apenas dos parâmetros e das concentrações. Podemos, portanto, utilizar funções de variáveis Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} para descrever o sistema, de modo que

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_t=D_u\nabla^2u + f(u,v)}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_t=D_v\nabla^2v + g(u,v)}

Estabilidade e Instabilidade no Modelo de Turing

Pontos de Equilíbrio

Vimos que o modelo de Turing depende de parâmetros Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b,c,d} , de constantes Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} e dos coeficientes de difusão.

Afirmação: Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_u=D_v=0} , temos (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_{eq}, u_{eq})=(h,k)} como o único ponto de equilíbrio.

Demonstração: Mostraremos que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (h,k)} é ponto de equilíbrio. De fato, ao aplicarmos esse ponto na equação do modelo de Turing, temos

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_t\Bigg|_{u=k} = 0 = v_t\Bigg|_{v=h}}

para mostrar que é único, suponha que existem dois pontos de equilíbrio, a saber, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (v_1,u_1)} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (v_2,u_2)} . Vemos que, como as equações diferenciais em cada ponto fixo são iguais a zero, temos

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a(u_1 - u_2) + b(v_1 - v_2) = 0}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c(u_1 - u_2) + d(v_1 - v_2) = 0}

Consequentemente, devemos ter

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(b-\frac{ad}{c}\right)(v_1-v_2)=0 \Longrightarrow v_1=v_2} .

Do mesmo modo, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_1=u_2} . Portanto, o ponto de equilíbrio é único nessas circunstâncias.

Estabilidade de Sistemas Reativos-Difusivos

Para estudarmos a estabilidade dos sistemas reativos-difusivos precisamos encontrar os autovalores da matriz

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(J - D \omega^2\right)\Bigg|_{f = f_{eq}}}

Onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J} é a matriz jacobiana dos termos de reação, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} é a matriz diagonal dos termos de difusão e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega} é o parâmetro que determina a frequência espacial das perturbações. A prova dessa pode ser encontrada nas referências. Aplicando isso ao modelo de Turing obtemos

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( \left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array} \right) - \left(\begin{array}{cc}D_u&0\\0&D_v\end{array} \right) \omega^2 \right) \Bigg|_{(u,v) = (h,k)} = \left(\begin{array}{cc}a - D_u \omega^2&b\\c&d - D_v \omega^2\end{array} \right) }

Para esta matriz ser estável precisamos que o determinante dessa matriz seja positivo e o traço seja negativo. Obtemos então

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0 < (a - D_u \omega^2)(d - D_v \omega^2) - bc}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0 > a - D_u \omega^2 + d - D_v \omega^2 }

Podemos ver que em ambas desigualdades aparecerá o Determinante e o Traço da matriz dos coeficientes de reação. Denotaremos essa matriz por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} . Reescrevendo então obtemos

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a D_v \omega^2 + d D_u \omega^2 - D_u D_v \omega^4 < \text{det}(A)}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_u \omega^2 + D_v \omega^2 > \text{Tr}(A)}

Se o sistema fosse originalmente estável, isto é, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{Tr}(A) < 0} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{det}(A) > 0} a segunda desigualdade é sempre verdade, mas a primeira não. Podemos ver que a desigualdade pode ser violada se

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(z) = - D_u D_v z^2 + (a D_v + d D_u)z - \text{det}(A)}

tomar valores positivos para algum Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z > 0} (Onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z = \omega^2} ). Podemos reescrever Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(z)} da forma

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(z) = - D_u D_v \left(z - \frac{a D_v + d D_u}{2D_u D_v} \right)^2 + \left( \frac{(a D_v + d D_u)^2}{4D_u D_v} \right) - \text{det}(A)}

Vamos então analisar duas opções onde podemos ter Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z > 0} : (1) o ponto mais alto da função fica no lado positivo do eixo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} ou (2) o ponto mais alto da função fica no no lado negativo do eixo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} . Na primeira opção (1) a única condição é que o máximo da função seja acima do eixo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} , logo teremos

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( \frac{(a D_v + d D_u)^2}{4D_u D_v} \right) - \text{det}(A) > 0}

Se o máximo da função estiver no lado negativo de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} , opção (2), a condição é que o ponto que interceptar $g(z)$ deve ser positivo, podemos escrever isso da forma

$g(0)=-{\text{det}}(A)>0$

Podemos ver que a opção (2) nunca pode ser obtida, pois o modelo é inicialmente estável e ${\text{det}}(A)>0$, assim a única opção para que a difusão desestabilize o sistema é quando

$aD_{v}+dD_{u}>2{\sqrt {D_{u}D_{v}{\text{det}}(A)}}$

Implementação

Para resolver numericamente as equações de Turing iremos utilizar o método FTCS (Forward Time Central Space). O método FTCS é o mais simples e consiste em discretizar a derivada em $t$ de forma não simetrizada. Obtemos as seguintes discretizações para uma função genérica $f(r,t)$

${\frac {\partial f}{\partial t}}={\frac {f(r,t+dt)-f(r,t)}{dt}}$

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}={\frac {f(r+dr,t)-2f(r,t)+f(r-dr,t)}{dr^{2}}}$

Onde ${\vec {r}}$ é o vetor posição, que neste trabalho utilizamos apenas duas dimensões, ${\vec {r}}=(x,y)$.

Podemos discretizar as equações de Turing diretamente com o método FTCS. Talvez o único problema seja o laplaciano, porém basta escrever da forma

$\nabla ^{2}f(r,t)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}$

Assim podemos utilizar a discretização simetrizada e obter

$\nabla ^{2}f(r,t)={\frac {f(x+dx,t)-2f(r,t)+f(x-dx,t)}{dx^{2}}}+{\frac {f(y+dy,t)-2f(r,t)+f(y-dy,t)}{dy^{2}}}$

Ao tomarmos $dx=dy=dh$, que faremos aqui, podemos simplificar a discretização do laplaciano para

$\nabla ^{2}f(r,t)={\frac {f(x+dh,t)+f(x-dh,t)+f(y+dh,t)+f(y-dh,t)-4f(r,t)}{dh^{2}}}$

Então obtemos que as equações de Turing discretizadas pelo método FTCS, em notação discreta, são dadas por

$u_{i,j}^{n+1}=u_{i,j}^{n}+\left[a(u_{i,j}^{n}-h)+b(v_{i,j}^{n}-k)+D_{u}{\frac {u_{i+1,j}^{n}+u_{i-1,j}^{n}+u_{i,j+1}^{n}+u_{i,j-1}^{n}-4u_{i,j}^{n}}{dh^{2}}}\right]dt$

$v_{i,j}^{n+1}=v_{i,j}^{n}+\left[c(u_{i,j}^{n}-h)+d(v_{i,j}^{n}-k)+D_{v}{\frac {v_{i+1,j}^{n}+v_{i-1,j}^{n}+v_{i,j+1}^{n}+v_{i,j-1}^{n}-4v_{i,j}^{n}}{dh^{2}}}\right]dt$

Onde $i$ e $j$ são os índices espaciais e $n$ é o índice temporal.

Utilizamos uma rede quadrada de tamanho $L\times L$ com condições de contorno periódicas. O sistema inicia próximo do equilibrio $(u,v)=(h,k)$ e então é aplicado um pequeno ruído para começar a difusão. O ruído é muito importante, sem ele o sistema ficaria sempre no equilíbrio. O ruído também deve ser pequeno suficiente para quebrar o estado inicial, mas não grande suficiente para causar instabilidades numéricas na simulação. O ruído utilizado aqui consiste em números aleatórios no intervalo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [-0,003:0,003]} . Tomamos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dh = 1/L} .