Grupo - Ising 2D

Grupo: Ânderson Rosa, Caetano Pires e Lucas Doria.

sepa falar algo aqui tb

Introdução(?)

-talvez falar sobre materiais ferromagnéticos;

-falar sobre os conceitos de mec estatística necessários?;

-falar sobre o sistema de spins (geometricamente)?;

O Modelo de Ising

O modelo de Ising é construído a partir da assunção de que os spins do sistema apontam apenas na direção $+z$ ou $-z$. Assim, o $i$-ésimo spin do sistema pode assumir dois valores, que por conveniência são assumidos $s_{i}=\pm 1.$ Cada um desses "Ising spins" interage com outros spins do sistema.

Em um material magnético real, a interação é maior entre spins mais próximos. Com essa motivação, uma forma de representar a interação entre os spins do sistema é levar em conta a interação apenas entre um spin e seus vizinhos mais próximos da cadeia de spins. A energia de tal sistema pode ser expressa por

$E=-J\sum _{<ij>}s_{i}s_{j}-B\sum _{i}s_{i},$

onde a soma se dá sobre todos os pares de spins mais próximos entre si, $J$ é a constante de correlação, que assumimos positiva e B é um campo externo que atua sobre os spins.

Uma análise qualitativa da expressão para a energia do microestado acima já mostra, por exemplo, que se dois spins são paralelos entre si, a energia de interação entre eles é $-J$. Se os spins são antiparalelos, então o produto dentro da soma é negativo, de forma que $E=J.$ Portanto, as interações favorecem um alinhamento paralelo entre spins vizinhos.

Embora a energia do sistema seja menor quando todos os spins são paralelos entre si, é preciso considerar o efeito da temperatura sobre o sistema. No modelo estudado em questão, é considerado que o sistema se encontra em equilíbrio com uma fonte de temperatura $T$, de forma que o comportamento do sistema pode ser estudado a partir do ensemble canônico.[1]

Para um sistema que se encontra em equilíbrio com uma fonte em temperatura $T$, a probabilidade de encontrar o sistema em um estado particular é proporcional ao fator de Boltzmann

$P_{\alpha }\propto e^{-E_{\alpha }/k_{b}T}$

onde $E_{\alpha }$ é a energia do estado $\alpha$ correspondente e $k_{b}$ a constante de Boltzmann. Cada um desses estados é uma configuração particular do conjunto de spins, chamados microestados do sistema. Portanto, se temos uma cadeia com $N$ Ising spins, o sistema possui $2^{N}$ microestados possíveis. Essa interação do sistema com uma fonte à temperatura $T$ faz com que o sistema passe por transições de um microestado para outro, fazendo com que spins individuais alternem entre +1 e -1 enquanto ganham ou perdem energia devido a fonte.

Uma medida macroscópica do momento magnético total do sistema é chamada de magnetização, e é uma média dos diversos microestados que o sistema visita durante uma medida. O momento magnético de um microestado $M_{\alpha }$ é a soma dos valores dos spins daquele estado em particular. Assim, a magnetização medida é dada por

$M=\sum _{\alpha }M_{\alpha }P_{\alpha },$

Teoria do Campo Médio: Uma abordagem aproximada

O método do campo médio pode ser utilizado para introduzir algumas propriedades de um sistema de spins, assim como uma primeira análise de transições de fase. Porém seus resultados não são quantitativamente exatos, sendo necessária uma abordagem diferente ao problema para fins de resultados melhores (ver seção sobre o método Monte Carlo).

A magnetização do sistema está relacionada ao alinhamento de spin médio $<s_{i}>$. A magnetização total a uma temperatura $T$ para um sistema de $N$ spins é dada por

$M=\sum _{i}<s_{i}>=N<s_{i}>,$

Se adicionarmos um campo magnético ao problema, a função de energia do sistema se torna

$E=-J\sum _{<ij>}s_{i}s_{j}-\mu H\sum _{i}s_{i},$

onde $H$ representa o campo magnético e $\mu$ o momento magnético associado com cada spin. Este campo faz com que os spins tendam a se orientar paralelamente a $H$, visto que isso diminui a energia. Para obter a aproximação de campo médio, consideramos que o sistema é constituído de um único spin $s_{i}$, de tal forma que a única energia envolvida é a energia de campo. As probabilidades de encontrar o sistema de um único spin nos seus dois possíveis estados são dadas por

${\begin{cases}P_{+}=Ce^{+\mu H/k_{b}T},\\P_{-}=Ce^{-\mu H/k_{b}T},\end{cases}}$

onde $C$ é um coeficiente que pode ser determinado tomando a condição de que as duas probabilidades se somem a 1. Portanto,

$C={\frac {1}{e^{+\mu H/k_{b}T}+e^{-\mu H/k_{b}T}}},$

A média de $s_{i}$ pode ser calculada por

$<s_{i}>=\sum _{s_{i}=\pm 1}s_{i}P_{\pm }=P_{+}-P_{-}=\tanh(\mu H/k_{b}T).$

Conclusões e Observações

O modelo de Ising estudado neste trabalho é um modelo de spin extremamente simples. Outros modelos podem ser estudados. Por exemplo, podemos considerar os spins como sendo vetores de comprimento constante mas que tenham movimento de rotação em um plano[2], ou até mesmo considerar vetores em três dimensões[3]. Além disso, o alcance das interações entre os spins do sistema pode ser incrementada para os segundos, terceiros ou até mais distantes vizinhos mais próximos de um spin. Todos esses modelos têm sido estudados extensivamente. Apesar disso, o modelo simples em 2D com spins +1 e -1 estudado ainda representa bem as propriedades do sistema, principalmente o fenômeno de transição de fase.