Equação de Klein-Gordon

INTRODUÇÃO

A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein $E=p^2{c}^2+m^2{c}^4$. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

$(◻+\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2})\psi (x,t)=0$

onde $(◻=\frac{{\partial }^2}{c^2\partial t^2}-{\mathrm{\nabla }}^2)$ é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}=c^2{\mathrm{\nabla }}^2\psi -\frac{m^2{c}^4}{{\hslash }^2}\psi$

$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}-\frac{m^2{c}^4}{{\hslash }^2}\psi$ (em uma dimensão)

MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos $\mathrm{\Delta }t$ criando uma sequência de pontos $t_n=n\mathrm{\Delta }t$. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos $\mathrm{\Delta }x$ criando uma sequência de pontos $x_i=i\mathrm{\Delta }x$. Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

$\frac{\partial u}{\partial t}\approx \frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\mathrm{\Delta }t}$ e $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}\approx \frac{u_i^{n+1}-2u_i^n+u_i^{n-1}}{(\mathrm{\Delta }t{)}^2}$ para o tempo.

$\frac{\partial u}{\partial x}\approx \frac{u_{i+1}^n-u_i^n}{\mathrm{\Delta }x}e\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\approx \frac{u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}$ para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

$\frac{{\partial }^2\psi (x,t)}{\partial t^2}\approx \frac{\psi (x,t+\mathrm{\Delta }t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\mathrm{\Delta }t)}{(\mathrm{\Delta }t{)}^2}$

$\frac{{\partial }^2\psi (x,t)}{\partial x^2}\approx \frac{\psi (x+\mathrm{\Delta }x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x-\mathrm{\Delta }x,t)}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}$

ou seja:

$\frac{\psi (x,t+\mathrm{\Delta }t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\mathrm{\Delta }t)}{(\mathrm{\Delta }t{)}^2}=c^2\frac{\psi (x+\mathrm{\Delta }x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\mathrm{\Delta }t)}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}-\frac{m^2{c}^4}{{\hslash }^2}\psi$

isso nos leva a equação final:

$\psi (x,t+\mathrm{\Delta }t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\mathrm{\Delta }t)=\frac{c^2\mathrm{\Delta }{t}^2}{\mathrm{\Delta }{x}^2}\psi (x+\mathrm{\Delta }x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\mathrm{\Delta },t)-\frac{m^2{c}^4\mathrm{\Delta }{t}^2}{{\hslash }^2}\psi$

chamarei $\alpha =\frac{c\mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }x}$ e $\beta =\frac{m{c}^2\mathrm{\Delta }t}{\hslash }$

portanto, $\psi (x,t+\mathrm{\Delta }t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\mathrm{\Delta }t)={\alpha }^2\psi (x+\mathrm{\Delta }x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\mathrm{\Delta }t)-{\beta }^2\psi$

ou, mais usualmente: ${\psi }_i^{n+1}=2{\psi }_i^n-{\psi }_i^{n-1}+{\alpha }^2({\psi }_{i+1}^n-2{\psi }_i^n+{\psi }_{i-1}^n)-{\beta }^2\psi$

CRITÉRIO DE ESTABILIDADE

Forma Contínua e Discretização: A equação de Klein-Gordon contínua é: $\frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}-\frac{m^2{c}^4}{{\hslash }^2}\psi .$

A forma discreta, usando diferenças finitas centralizadas no tempo e no espaço, é: ${\psi }_i^{n+1}=2{\psi }_i^n-{\psi }_i^{n-1}+\frac{c^2\mathrm{\Delta }{t}^2}{\mathrm{\Delta }{x}^2}({\psi }_{i+1}^n-2{\psi }_i^n+{\psi }_{i-1}^n)-\frac{m^2{c}^4\mathrm{\Delta }{t}^2}{{\hslash }^2}{\psi }_i^n.$ Aqui, definimos os coeficientes: $\alpha =\frac{c\mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }x},\beta =\frac{m{c}^2\mathrm{\Delta }t}{\hslash }.$

Suposição de Solução Harmônica: Substituímos uma solução da forma: ${\psi }_i^n=G^n{e}^{ik{x}_i},$ onde:

 na equação: $G^{n+1}{e}^{ik{x}_i}=2G^n{e}^{ik{x}_i}-G^{n-1}{e}^{ik{x}_i}+{\alpha }^2{G}^n(e^{ik{x}_{i+1}}-2e^{ik{x}_i}+e^{ik{x}_{i-1}})-{\beta }^2{G}^n{e}^{ik{x}_i}.$

Simplificação:

Como $e^{ik{x}_{i+1}}=e^{ik{x}_i}{e}^{ik\mathrm{\Delta }x}$ e $e^{ik{x}_{i-1}}=e^{ik{x}_i}{e}^{-ik\mathrm{\Delta }x}$, o termo centralizado se torna: $e^{ik{x}_{i+1}}-2e^{ik{x}_i}+e^{ik{x}_{i-1}}=e^{ik{x}_i}(e^{ik\mathrm{\Delta }x}-2+e^{-ik\mathrm{\Delta }x}).$ Usando $e^{ik\mathrm{\Delta }x}+e^{-ik\mathrm{\Delta }x}=2\cos (k\mathrm{\Delta }x)$, temos: $e^{ik{x}_{i+1}}-2e^{ik{x}_i}+e^{ik{x}_{i-1}}=e^{ik{x}_i}(-2+2\cos (k\mathrm{\Delta }x)).$ Substituímos isso na equação e cancelamos o fator $e^{ik{x}_i}$, que nunca é zero: $G^{n+1}=2G^n-G^{n-1}-{\alpha }^2(2-2\cos (k\mathrm{\Delta }x))G^n-{\beta }^2{G}^n.$

Simplificando mais, obtemos: $G^{n+1}=(2-{\alpha }^2(2-2\cos (k\mathrm{\Delta }x))-{\beta }^2)G^n-G^{n-1}.$

Equação Característica: Assumimos uma solução da forma $G^n=G^n$ e obtemos uma equação quadrática para $G$: $G^2-G(2-{\alpha }^2(2-2\cos (k\mathrm{\Delta }x))-{\beta }^2)+1=0.$

Condição de Estabilidade: Para estabilidade, as raízes de $G$ devem satisfazer $|G|\le 1$. Isso leva ao critério: $\alpha \le 1,\text{ou seja,}\frac{c\mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }x}\le 1.$

Conclusão Matemática: A condição $\alpha \le 1$ garante que os termos oscilatórios na solução não crescem exponencialmente. Essa análise também mostra que:

Quanto menor o passo de tempo $\mathrm{\Delta }t$, mais precisa e estável é a solução. A relação entre os passos de tempo e espaço é crucial: aumentar muito $\mathrm{\Delta }t$ sem ajustar $\mathrm{\Delta }x$ pode levar à instabilidade.

C.C e C.I

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condições iniciais e de contorno:

$\psi (x,0)=A{e}^{-\frac{x-x_0}{2{\sigma }^2}}$ que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e $\frac{\partial \psi (x,0)}{\partial t}=0$ que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, $x_0$ é a posição central do pulso e $\sigma$ é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que $\psi (0,t)=0$ e $\psi (L,t)=0$ o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas: