Equação de Klein-Gordon

INTRODUÇÃO

A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E=p^2c^2 + m^2c^4 } . A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 }

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) } é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi} (em uma dimensão)

MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta t } criando uma sequência de pontos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_n=n\Delta t } . Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x } criando uma sequência de pontos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_i=i\Delta x } . Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} } para o tempo.

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} } para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} }

ou seja:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi }

isso nos leva a equação final:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi }

chamarei Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} }

portanto, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi }

ou, mais usualmente: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi }

CRITÉRIO DE ESTABILIDADE

A equação discretizada é dada por:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n } Definimos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s = \frac{c \Delta t}{\Delta x}, } para simplificar a notação, e escrevemos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + s^2 (\psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. }

Suponha que a solução seja uma onda harmônica no espaço e no tempo:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_i^n = A e^{i(kx_i - \omega t_n)}, } onde:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} é a amplitude, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} é o número de onda, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega} é a frequência angular discreta, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_i = i \Delta x} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_n = n \Delta t} são os pontos espaciais e temporais. No esquema discreto:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_i^n = A e^{i(k i \Delta x - \omega n \Delta t)}. } Substituímos nas expressões de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_i^{n+1}} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_i^n} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_i^{n-1}} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_{i+1}^n} , e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_{i-1}^n} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_i^{n+1} = A e^{i(k i \Delta x - \omega (n+1) \Delta t)} = \psi_i^n e^{-i \omega \Delta t}. } De forma semelhante:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_i^{n-1} = \psi_i^n e^{i \omega \Delta t}, \quad \psi_{i+1}^n = \psi_i^n e^{i k \Delta x}, \quad \psi_{i-1}^n = \psi_i^n e^{-i k \Delta x}. }

Substituímos essas expressões na equação:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_i^n e^{-i \omega \Delta t} = 2\psi_i^n - \psi_i^n e^{i \omega \Delta t} + s^2 \left(\psi_i^n e^{i k \Delta x} - 2\psi_i^n + \psi_i^n e^{-i k \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. } Dividimos tudo por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_i^n} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{-i \omega \Delta t} = 2 - e^{i \omega \Delta t} + s^2 \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2}. }

Para simplificar, usamos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x), } e

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{-i \omega \Delta t} + e^{i \omega \Delta t} = 2 \cos(\omega \Delta t). } Substituímos e reorganizamos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(\omega \Delta t) = 1 - s^2 (1 - \cos(k \Delta x)) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{2 \hbar^2}. }

Para que a solução seja estável, o módulo de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(\omega \Delta t)} deve ser no máximo 1 (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\cos(\omega \Delta t)| \leq 1} ). Isso impõe a seguinte condição no termo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s^2} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s^2 = \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \leq 1. } Ou seja:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s = \frac{c \Delta t}{\Delta x}} representa a relação entre os passos no tempo (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta t} ) e no espaço ($\Delta x$). Se $s>1$, a onda "se propaga rápido demais" em relação à resolução do espaço-tempo, o que pode causar instabilidade.

C.C e C.I

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condições iniciais e de contorno:

$\psi (x,0)=Ae^{-{\frac {x-x_{0}}{2\sigma ^{2}}}}$ que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e ${\frac {\partial \psi (x,0)}{\partial t}}=0$ que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, $x_{0}$ é a posição central do pulso e $\sigma$ é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que $\psi (0,t)=0$ e $\psi (L,t)=0$ o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas: