Termostato de Andersen

INTRODUÇÃO

A dinâmica molecular é uma técnica que naturalmente simula sistemas clássicos compostos por N partículas interagindo dentro de um volume V. Nesse contexto, as posições das partículas são atualizadas com base no potencial de interação escolhido. Sob a suposição de ergodicidade — ou seja, que as médias temporais equivalem às médias de ensemble —, as simulações resultam em amostragens do ensemble microcanônico (NVE). Nesse ensemble, o número de partículas N, o volume V, e a energia total E permanecem constantes (aproximadamente).

Ao colocar um sistema em contato com um reservatório térmico a uma temperatura T, mudamos do ensemble microcanônico (NVE), onde a energia é mantida constante, para o ensemble canônico (NVT), no qual a temperatura do sistema é constante. Nesse novo ensemble, a distribuição de probabilidade das velocidades das partículas segue a forma da distribuição de Maxwell-Boltzmann, uma distribuição gaussiana associada à temperatura T. Um dos métodos mais simples para realizar uma amostragem correta do ensemble canônico é o termostato de Andersen. Neste estudo, focaremos na análise desse termostato, explorando sua implementação, características e aplicação na simulação de sistemas termodinâmicos.

FUNDAMENTO TEÓRICO

Temperatura

A definição de temperatura em um sistema clássico em função das velocidades das partículas pode ser obtida pela equipartição de energia:

$\left\langle {\frac {1}{2}}mv_{\alpha }^{2}\right\rangle ={\frac {1}{2}}k_{B}T$

Temos então:

$T(t)={\frac {1}{k_{B}N_{f}}}\sum _{i=1}^{N_{f}}m_{i}v_{i}^{2}$

onde $N_{f}$ é o número de graus de liberdade do sistema. No ensemble microcanônico, como o momento é conservado, temos $N_{f}=3N-3$, mas no ensemble canônico, e portanto no termostato de Andersen, o momento não é conservado e obtemos $N_{f}=3N$.

TERMOSTATO DE ANDERSEN

Para simular o contato do sistema com um reservatório térmico, a cada passo de tempo Δt é realizado um procedimento de Monte Carlo. Nesse processo, N partículas são selecionadas aleatoriamente, uma de cada vez, e suas velocidades são atualizadas. Essas novas velocidades são sorteadas a partir da distribuição gaussiana centrada em zero com $\sigma ={\sqrt {T}}$. Essa abordagem introduz um elemento de estocasticidade ao modelo, permitindo que a temperatura média do sistema oscile em torno da temperatura T do reservatório.

Na prática, a interação entre o sistema e o reservatório é controlada pela frequência de colisão $\nu$. Para cada partícula, é gerado um número aleatório Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r} no intervalo [0,1]. Caso Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r<\nu * \Delta t } a velocidade da partícula é atualizada conforme descrito.

Algoritmo

Podemos descrever o algoritmo em 4 passos:

1. Inicia-se com um conjunto de posições e velocidades.

2. Integra-se as equações do movimento para um passo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta t} .

3. N partículas são selecionadas para colidir com o reservatório térmico.

4. Para cada partícula selecionada, definir nova velocidade a partir da distribuição de Maxwell-Boltzmann correspondente à temperatura T do reservatório.

RESULTADOS

T=1 Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu = 1.011} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma = 0.067}

Figura 1: Evolução da temperatura durante a simulação com temperatura do reservatório Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T=1} .

Figura 2: Comparação da distribuição do valor absoluto das velocidades dos últimos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 40.000} passos com a distribuição de Maxwell-Boltzmann para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T=1}

T=2 Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu = 2.025} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma = 0.166}

Figura 3: Evolução da temperatura durante a simulação com temperatura do reservatório Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T=2} .

Figura 4: Comparação da distribuição do valor absoluto das velocidades dos últimos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 40.000} passos com a distribuição de Maxwell-Boltzmann para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T=2} .

T=3 Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu = 3.027} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma = 0.247}

Figura 5: Evolução da temperatura durante a simulação com temperatura do reservatório Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T=3} .

Figura 6: Comparação da distribuição do valor absoluto das velocidades dos últimos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 40.000} passos com a distribuição de Maxwell-Boltzmann para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T=3} .