Lançamento Oblíquo Estocástico

O lançamento oblíquo é um clásico problema da mecanica, onde um projétil e lançado com velocidade inicial $v$ em uma direção que faz um angulo $\theta$ com a horizontal. Nesse casso iremos considerar o movimento com arrasto em que a força de resistencia do ar é oposta ao movimento e proporcional a velocidade

$F_{Ar}=-kmv$

O objetivo é descrever o movimento do projétil em duas dimensões, levando em consideração tanto a força da gravidade quanto a resistência do ar então adicionar um termo de ruido no sistema e analizar seu comportamento.

Equações de Movimento

Começamos decompondo as velocidades nas direções x e y

$v_x=v\cos (\theta )$

$v_y=v\sin (\theta )$

Para as equações de movimento usamos a segunda lei de Newton nas componentes horizontais e verticais

$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-km{v}_x$

$m\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=-mg-km{v}_y$

onde:

• $m$ é a massa do projétil

• $g$ é a aceleração da gravidade

• $k$ é o coeficiente de arrasto

Introduzindo $v_x=\frac{dx}{dt}$ e $v_y=\frac{dy}{dt}$ podemos reescrever as equações como diferenciais de primeira ordem.

$\frac{d{v}_x}{dt}=-k{v}_x$

$\frac{d{v}_y}{dt}=-g-k{v}_y$

Essas E.D. possuem solução analitica bastando integrar nos limites adequados. A integração numérica por Euler é dirta a partir das relações a cima e nos da uma trajetoria para comparação quando adicionar o termo de ruido:

$v_{x,j+1}=v_{x,j}-k{v}_{x,j}dt$

$v_{y,j+1}=v_{y,j}-gdt-k{v}_{y,j}dt$

Utilizando as seguintes condições iniciais $x_0=0$ e $y_0=0$ podemos atualizar a posição

$v_x=\frac{dx}{dt}$

$x_{j+1}=x_j+v_{x,j}dt$

$v_y=\frac{dy}{dt}$

$y_{j+1}=y_j+v_{y,j}dt$

Para modelar o ruído produzido pela densidade do ar, consideramos dois regimes. No primeiro, assumimos que a densidade é constante ao longo da trajetória, ou seja, $\rho ={\rho }_0$ e, portanto, trataremos o problema como uma EDE com ruído aditivo, onde $B_{(X(t),t)}={\rho }_0=\beta$. Na segunda situação, consideramos que a densidade varia com a altitude do projétil, seguindo a relação $\rho ={\rho }_0{e}^{-\frac{y}{H}}$ e, nesse caso, abordaremos como uma EDE com ruído multiplicativo, onde $B_{(X(t),t)}={\rho }_{(X(t))}=\beta e^{-\frac{y}{H}}$.

Equação diferencial estocástica

A equação diferencial estocástica a ser resolvida é:

$\frac{dX}{dt}=A(X(t))+B(X(t))\xi (t).$

Caso o termo $B(X,t)$ fosse uma constante, exemplo em que a densidade do ar não muda significativamente, o ruído é dito aditivo. Então, a integração da equação é direta, resultando em:

$dX(t)=A(X(t))dt+BdW(t),$

onde $\xi (t)dt=dW(t)$ é o incremento de Wiener, um processo estocástico com distribuição gaussiana de largura $\sqrt{dt}$. Escrevendo a equação em diferenças finitas e substituindo os valores de $A(X(t))$ e de $B$ têm-se:

$\mathrm{\Delta }{x}_i=v_{x_i}\mathrm{\Delta }t$

$\mathrm{\Delta }{v}_{x_i}=-k{v}_{x_i}\mathrm{\Delta }t+\beta \mathrm{\Delta }{W}_i$

$\mathrm{\Delta }{y}_i=v_{y_i}\mathrm{\Delta }t$

$\mathrm{\Delta }{v}_{y_i}=(-g-k{v}_{x_i})\mathrm{\Delta }t+\beta \mathrm{\Delta }{W}_i$

Entretanto, o termo $B(X,t)$ depende do processo estocástico e ruído é dito multiplicativo, assim, devemos utilizar um cálculo estocástco especial, por exemplo o cálculo de Itô e de Stratonovich. No cálculo de Stratonovich, as regras de integração, diferenciação, mudança de variáveis etc, se mantém as mesmas do cálculo usual, e a equação é escrita como:

$dX(t)=A(X(t))dt+B(X(t))dW(t),$

com o detalhe que o argumento de $B(X(t))$ é, na realidade, calculado na média de X entre os limites do intervalo de integração. Ou seja, ao escrever a equação em diferenças finitas, obtém-se:

$\mathrm{\Delta }X(t)=A(X(t))\mathrm{\Delta }t+B(X(t)+\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }X(t))\mathrm{\Delta }W(t).$

Ao subsituir os valores de $A(X(t))$ e de $B(X(t))$ na equação acima, chega-se em:

$\mathrm{\Delta }{x}_i=v_{x_i}\mathrm{\Delta }t$

$\mathrm{\Delta }{v}_{x_i}=-k{v}_{x_i}\mathrm{\Delta }t+\beta e^{-\frac{y_i}{H}}{e}^{-\frac{\mathrm{\Delta }{y}_i}{2H}}\mathrm{\Delta }{W}_i$

$\mathrm{\Delta }{y}_i=v_{y_i}\mathrm{\Delta }t$

$\mathrm{\Delta }{v}_{y_i}=(-g-k{v}_{x_i})\mathrm{\Delta }t+\beta e^{-\frac{y_i}{H}}{e}^{-\frac{\mathrm{\Delta }{y}_i}{2H}}\mathrm{\Delta }{W}_i$

É importante ressaltar que os incrementos de Wiener que aparecem nas equações para velocidade são independentes entre si, isto é, deverá ser gerado duas variáveis aleatórias com distribuição gaussiana de largura $\sqrt{\mathrm{\Delta }t}$. Agora, é necessário explicitar os $\mathrm{\Delta }{y}_i$na equação acima, porém a dependência de $B(X(t))$ não é linear em relação à altura, o que torna inviável esse procedimento.

Com isso, a atenção volta-se para o cálculo de Itô, dado por:

$dX(t)=[A(X(t))+\frac{1}{2}\frac{\partial B}{\partial X}B(X(t))]dt+B(X(t))\bullet dW(t)$

Após a substituição dos valores de $A(X(t))$ e $B(X(t))$, obtêm-se as seguintes expressões:

$\mathrm{\Delta }{x}_i=v_{x_i}\mathrm{\Delta }t$

$\mathrm{\Delta }{v}_{x_i}=-k{v}_{x_i}\mathrm{\Delta }t+\beta e^{-\frac{y(t)}{H}}\mathrm{\Delta }{W}_i$

$\mathrm{\Delta }{y}_i=v_{y_i}\mathrm{\Delta }t$

$\mathrm{\Delta }{v}_{y_i}=[-g-k{v}_{x_i}-\frac{{\beta }^2}{2H}{e}^{-\frac{2}{H}{y}_i}]\mathrm{\Delta }t+\beta e^{-\frac{y_i}{H}}\mathrm{\Delta }{W}_i$

Resultados

Nas figuras abaixo podemos ver as trajetórias de certo objeto para ruído aditivo e ruído multiplicativo considerando o chão em zero.

Esperávamos que as média para ruído aditivo e multiplicativos fossem iguais, dado que o ruído não interfere no cálculo da média, porém como pode ser visto no gráfico abaixo há divergência para o ruído multiplicativo.

Tanto a divergência da médias como o aumento da dispersão da trajetórias podem ser explicados pelo modelo que estamos usando na EDE-ito,