Lançamento Oblíquo Estocástico

O lançamento oblíquo é um clásico problema da mecanica, onde um projétil e lançado com velocidade inicial $v$ em uma direção que faz um angulo $\theta$ com a horizontal. Nesse casso iremos considerar o movimento com arrasto em que a força de resistencia do ar é oposta ao movimento e proporcional a velocidade

$F_{Ar}=-kmv$

O objetivo é descrever o movimento do projétil em duas dimensões, levando em consideração tanto a força da gravidade quanto a resistência do ar então adicionar um termo de ruido no sistema e analizar seu comportamento.

Equações de Movimento

Começamos decompondo as velocidades nas direções x e y

$v_{x}=v\cos(\theta )$

$v_{y}=v\sin(\theta )$

Para as equações de movimento usamos a segunda lei de Newton nas componentes horizontais e verticais

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kmv_{x}$

$m{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-mg-kmv_{y}$

onde:

• $m$ é a massa do projétil

• $g$ é a aceleração da gravidade

• $k$ é o coeficiente de arrasto

Introduzindo $v_{x}={\frac {dx}{dt}}$ e $v_{y}={\frac {dy}{dt}}$ podemos reescrever as equações como diferenciais de primeira ordem.

${\frac {dv_{x}}{dt}}=-kv_{x}$

${\frac {dv_{y}}{dt}}=-g-kv_{y}$

Essas E.D. possuem solução analitica bastando integrar nos limites adequados. A integração numérica por Euler é dirta a partir das relações a cima e nos da uma trajetoria para comparação quando adicionar o termo de ruido:

$v_{x,j+1}=v_{x,j}-kv_{x,j}dt$

$v_{y,j+1}=v_{y,j}-gdt-kv_{y,j}dt$

Utilizando as seguintes condições iniciais $x_{0}=0$ e $y_{0}=0$ podemos atualizar a posição

$v_{x}={\frac {dx}{dt}}$

$x_{j+1}=x_{j}+v_{x,j}dt$

$v_{y}={\frac {dy}{dt}}$

$y_{j+1}=y_{j}+v_{y,j}dt$

Para modelar o ruído produzido pela densidade do ar, consideramos dois regimes. No primeiro, assumimos que a densidade é constante ao longo da trajetória, ou seja, $\rho =\rho _{0}$ e, portanto, trataremos o problema como uma EDE com ruído aditivo, onde $B_{(X(t),t)}=\rho _{0}=\beta$. Na segunda situação, consideramos que a densidade varia com a altitude do projétil, seguindo a relação $\rho =\rho _{0}e^{-{\frac {y}{H}}}$ e, nesse caso, abordaremos como uma EDE com ruído multiplicativo, onde $B_{(X(t),t)}=\rho _{(X(t))}=\beta e^{-{\frac {y}{H}}}$.

Equação diferencial estocástica

A equação diferencial estocástica a ser resolvida é:

${\frac {dX}{dt}}=A(X(t))+B(X(t))\xi (t).$

Caso o termo $B(X,t)$ fosse uma constante, exemplo em que a densidade do ar não muda significativamente, o ruído é dito aditivo. Então, a integração da equação é direta, resultando em:

$dX(t)=A(X(t))dt+BdW(t),$

onde $\xi (t)dt=dW(t)$ é o incremento de Wiener, um processo estocástico com distribuição gaussiana de largura ${\sqrt {dt}}$. Escrevendo a equação em diferenças finitas e substituindo os valores de $A(X(t))$ e de $B$ têm-se:

$\Delta x_{i}=v_{x_{i}}\Delta t$

$\Delta v_{x_{i}}=-kv_{x_{i}}\Delta t+\beta \Delta W_{i}$

$\Delta y_{i}=v_{y_{i}}\Delta t$

$\Delta v_{y_{i}}=\left(-g-kv_{x_{i}}\right)\Delta t+\beta \Delta W_{i}$

Entretanto, o termo $B(X,t)$ depende do processo estocástico e ruído é dito multiplicativo, assim, devemos utilizar um cálculo estocástco especial, por exemplo o cálculo de Itô e de Stratonovich. No cálculo de Stratonovich, as regras de integração, diferenciação, mudança de variáveis etc, se mantém as mesmas do cálculo usual, e a equação é escrita como:

$dX(t)=A(X(t))dt+B(X(t))dW(t),$

com o detalhe que o argumento de $B(X(t))$ é, na realidade, calculado na média de X entre os limites do intervalo de integração. Ou seja, ao escrever a equação em diferenças finitas, obtém-se:

$\Delta X(t)=A(X(t))\Delta t+B\left(X(t)+{\frac {1}{2}}\Delta X(t)\right)\Delta W(t).$

Ao subsituir os valores de $A(X(t))$ e de $B(X(t))$ na equação acima, chega-se em:

$\Delta x_{i}=v_{x_{i}}\Delta t$

$\Delta v_{x_{i}}=-kv_{x_{i}}\Delta t+\beta e^{-{\frac {y_{i}}{H}}}e^{-{\frac {\Delta y_{i}}{2H}}}\Delta W_{i}$

$\Delta y_{i}=v_{y_{i}}\Delta t$

$\Delta v_{y_{i}}=\left(-g-kv_{x_{i}}\right)\Delta t+\beta e^{-{\frac {y_{i}}{H}}}e^{-{\frac {\Delta y_{i}}{2H}}}\Delta W_{i}$

É importante ressaltar que os incrementos de Wiener que aparecem nas equações para velocidade são independentes entre si, isto é, deverá ser gerado duas variáveis aleatórias com distribuição gaussiana de largura ${\sqrt {\Delta t}}$. Agora, é necessário explicitar os $\Delta y_{i}$na equação acima, porém a dependência de $B(X(t))$ não é linear em relação à altura, o que torna inviável esse procedimento.

Com isso, a atenção volta-se para o cálculo de Itô, dado por:

$dX(t)=\left[A(X(t))+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial B}{\partial X}}B(X(t))\right]dt+B(X(t))\bullet dW(t)$

Após a substituição dos valores de $A(X(t))$ e $B(X(t))$, obtêm-se as seguintes expressões:

$\Delta x_{i}=v_{x_{i}}\Delta t$

$\Delta v_{x_{i}}=-kv_{x_{i}}\Delta t+\beta e^{-{\frac {y(t)}{H}}}\Delta W_{i}$

$\Delta y_{i}=v_{y_{i}}\Delta t$

$\Delta v_{y_{i}}=\left[-g-kv_{x_{i}}-{\frac {\beta ^{2}}{2H}}e^{-{\frac {2}{H}}y_{i}}\right]\Delta t+\beta e^{-{\frac {y_{i}}{H}}}\Delta W_{i}$

Resultados

Nas figuras abaixo podemos ver as trajetórias de certo objeto para ruído aditivo e ruído multiplicativo considerando o chão em zero.

Esperávamos que as média para ruído aditivo e multiplicativos fossem iguais, dado que o ruído não interfere no cálculo da média, porém como pode ser visto no gráfico abaixo há divergência para o ruído multiplicativo.

Tanto a divergência da médias como o aumento da dispersão da trajetórias podem ser explicados pelo modelo que estamos usando na EDE-ito,