Lançamento Oblíquo Estocástico

De Física Computacional
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O lançamento oblíquo é um clásico problema da mecanica, onde um projétil e lançado com velocidade inicial em uma direção que faz um angulo com a horizontal. Nesse casso iremos considerar o movimento com arrasto em que a força de resistencia do ar é oposta ao movimento e proporcional a velocidade

O objetivo é descrever o movimento do projétil em duas dimensões, levando em consideração tanto a força da gravidade quanto a resistência do ar então adicionar um termo de ruido no sistema e analizar seu comportamento.

Equações de Movimento

Começamos decompondo as velocidades nas direções x e y

Para as equações de movimento usamos a segunda lei de Newton nas componentes horizontais e verticais

onde:

  • é a massa do projétil
  • é a aceleração da gravidade
  • é o coeficiente de arrasto

Introduzindo e podemos reescrever as equações como diferenciais de primeira ordem.

Essas E.D. possuem solução analitica bastando integrar nos limites adequados. A integração numérica por Euler é dirta a partir das relações a cima e nos da uma trajetoria para comparação quando adicionar o termo de ruido:

Utilizando as seguintes condições iniciais e podemos atualizar a posição

Para modelar o ruído produzido pela densidade do ar, consideramos dois regimes. No primeiro, assumimos que a densidade é constante ao longo da trajetória, ou seja, e, portanto, trataremos o problema como uma EDE com ruído aditivo, onde . Na segunda situação, consideramos que a densidade varia com a altitude do projétil, seguindo a relação e, nesse caso, abordaremos como uma EDE com ruído multiplicativo, onde .

Equação diferencial estocástica

A equação diferencial estocástica a ser resolvida é:

Caso o termo fosse uma constante, exemplo em que a densidade do ar não muda significativamente, o ruído é dito aditivo. Então, a integração da equação é direta, resultando em:

onde é o incremento de Wiener, um processo estocástico com distribuição gaussiana de largura . Escrevendo a equação em diferenças finitas e substituindo os valores de e de têm-se:


Entretanto, o termo depende do processo estocástico e ruído é dito multiplicativo, assim, devemos utilizar um cálculo estocástco especial, por exemplo o cálculo de Itô e de Stratonovich. No cálculo de Stratonovich, as regras de integração, diferenciação, mudança de variáveis etc, se mantém as mesmas do cálculo usual, e a equação é escrita como:

com o detalhe que o argumento de é, na realidade, calculado na média de X entre os limites do intervalo de integração. Ou seja, ao escrever a equação em diferenças finitas, obtém-se:

Ao subsituir os valores de e de na equação acima, chega-se em:

É importante ressaltar que os incrementos de Wiener que aparecem nas equações para velocidade são independentes entre si, isto é, deverá ser gerado duas variáveis aleatórias com distribuição gaussiana de largura . Agora, é necessário explicitar os na equação acima, porém a dependência de não é linear em relação à altura, o que torna inviável esse procedimento.


Com isso, a atenção volta-se para o cálculo de Itô, dado por:

Após a substituição dos valores de e , obtêm-se as seguintes expressões:

Resultados

Nas figuras abaixo podemos ver as trajetórias de certo objeto para ruído aditivo e ruído multiplicativo considerando o chão em zero.

Figura 1 - Ruído multiplicativoFigura 2 - Ruído aditivo


Esperávamos que as média para ruído aditivo e multiplicativos fossem iguais, dado que o ruído não interfere no cálculo da média, porém como pode ser visto no gráfico abaixo há divergência para o ruído multiplicativo.

Figura 3 - Médias para N = 1000

Tanto a divergência da médias como o aumento da dispersão da trajetórias podem ser explicados pelo modelo que estamos usando na EDE-ito,

Figura 7 - exp

Figura 4 - Médias para N = 10000


Figura 5 - Médias para N = 1000Figura 6 - Médias para ruido alto