Baseado no fato de que sobre
pontos
passa um único polinômio de grau
, o Polinômio de Lagrange pode ser usado como fórmula de interpolação ou extrapolação:
onde
é claramente um polinômio de grau
em
.
Tendo em vista que
onde o delta de Kronecker
é fácil verificar que, de fato,
. Assim,
pode ser empregado para se estimar o valor de
em pontos
não tabulados.
Como discutido na seção Interpolação e extrapolação, é desaconselhável o uso de polinômios de grau elevado. Por isto, apenas um pequeno subconjunto dos valores tabulados, nas vizinhanças do ponto de interesse
, deve ser empregado.
Por exemplo, digamos que temos uma tabela com 100 pontos
. Se desejamos estimar o valor de
no interior da região
, ao invés de construir um polinômio de grau 99, podemos, por exemplo, dividir o espaço em 25 sub-regiões e usar polinômios cúbicos em cada uma delas,
utilizando apenas
e
.
Contudo, devemos notar que, embora a interpolação seja contínua nas interfaces das regiões, a continuidade das derivadas 1a e 2a não é garantida. Em situações em que estas propriedades importam, outras aproximações devem ser adotadas (veja, por exemplo, Spline Cúbico).
Para concluir esta este assunto, deve-se notar que a implementação numérica do polinômio de Lagrange é extremamente complicada. Como exercício, deve ser tentada a construção de uma função que calcule
, a partir da fórmula acima.
Por isto, o algorítmo de Neville é de grande valia na realização desta tarefa.
Se aproximarmos cada intervalo por um valor constante, podemos representar esta aproximação por
. Melhorando a descrição, empregando agora uma aproximação linear em cada intervalo
, denotamos por
, onde
é o polinômio que passa exatamente sobre
e
:
Vemos que
pode ser escrito como:
Isto sugere que há uma relação entre os polinômios de ordem
com os de ordem
.
Para verificar isto, vamos considerar, agora, uma parábola passando extamente sobre
e
, que denotaremos por,
:
Fatorando
e somando e subtraindo
, obtemos:
onde
Note que o último termo desta expressão corresponde àquele que foi subtraído após seu termo de sinal contrário ter
sido somado à expressão que levou a
na equação para
.
Rearranjando os termos acima, encontramos:
Substituindo este resultado na equação para
, obtemos finalmente:
Assim, notamos que, de fato, há uma relação de recorrência bastante simples entre os polinômios que envolvem
e
pontos, cuja forma geral é dada por:
Por ser muito mais simples de se implementar numericamente do que a expressão original para
,
é esta relação de recorrência que é, de fato, utilizada em cálculos numéricos. Os erros cometidos podem ser estimados calculando-se as diferenças entre as diferentes ordens do polinômio:
e
Ao invés de se gerar
a partir da relação de recorrência para
, pode-se utilizar as equações acima e obter relações de recorrência para
. No final, obtemos
a partir destas quantidades. Este desenvolvimento é deixado como exercício.
É importante notar que em nenhum ponto da discussão foi evocada a necessidade dos pontos
serem igualmente espaçados. Portanto, as fórmulas apresentadas aqui podem ser aplicadas em situações bastante gerais.
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