Fórmula de Lagrange

Baseado no fato de que sobre $N$ pontos $(X_{1},Y_{1}),(X_{2},Y_{2}),\cdots ,(X_{N},Y_{N})$ passa um único polinômio de grau $N-1$, o Polinômio de Lagrange pode ser usado como fórmula de interpolação ou extrapolação:

$P(x)=\sum _{i=1}^{N}Y_{i}L_{i}(x)$

onde

$L_{i}(x)=\prod _{j=1,j\neq i}^{N}{\frac {x-X_{j}}{X_{i}-X_{j}}}={\frac {x-X_{1}}{X_{i}-X_{1}}}\cdots {\frac {x-X_{i-1}}{X_{i}-X_{i-1}}}{\frac {x-X_{i+1}}{X_{i}-X_{i+1}}}\cdots {\frac {x-X_{N}}{X_{i}-X_{N}}}$

é claramente um polinômio de grau $\;N-1$ em $\;x$. Tendo em vista que $L_{i}(X_{j})=\delta _{i,j}\;,$ onde o delta de Kronecker

$\delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{se }}i=j\\0,&{\mbox{se }}i\neq j\end{matrix}}\right.$

é fácil verificar que, de fato,$\;P(X_{i})=Y_{i}$. Assim,$\;P(x)$ pode ser empregado para se estimar o valor de $\;Y(x)$ em pontos $\;x$ não tabulados.

Como discutido na seção Interpolação e extrapolação, é desaconselhável o uso de polinômios de grau elevado. Por isto, apenas um pequeno subconjunto dos valores tabulados, nas vizinhanças do ponto de interesse $\;X$, deve ser empregado. Por exemplo, digamos que temos uma tabela com 100 pontos $\;\{(X_{i},Y_{i})\}$. Se desejamos estimar o valor de $\;Y$ no interior da região $[X_{1},\;X_{N}]$, ao invés de construir um polinômio de grau 99, podemos, por exemplo, dividir o espaço em 25 sub-regiões e usar polinômios cúbicos em cada uma delas, utilizando apenas $(X_{i-1},Y_{i-1}),\;(X_{i},Y_{i}),\;(X_{i+1},Y_{i+1})$ e$\;(X_{i+2},Y_{i+2})$.

Contudo, devemos notar que, embora a interpolação seja contínua nas interfaces das regiões, a continuidade das derivadas 1^a e 2^a não é garantida. Em situações em que estas propriedades importam, outras aproximações devem ser adotadas (veja, por exemplo, Spline Cúbico).

Para concluir esta este assunto, deve-se notar que a implementação numérica do polinômio de Lagrange é extremamente complicada. Como exercício, deve ser tentada a construção de uma função que calcule $\;P(x)$, a partir da fórmula acima. Por isto, o algorítmo de Neville é de grande valia na realização desta tarefa. Se aproximarmos cada intervalo por um valor constante, podemos representar esta aproximação por $P_{1}(x)=Y_{1},\;P_{2}(x)=Y_{2},\;\cdots \,\;P_{N}(x)=Y_{N}$. Melhorando a descrição, empregando agora uma aproximação linear em cada intervalo $[X_{i},\;X_{i+1}]$, denotamos por $P_{12}(x),\;P_{23}(x),\;\cdots ,\;P_{N-1,N}(x)$, onde $P_{i,i+1}(x)\;$é o polinômio que passa exatamente sobre $(X_{i},Y_{i})\;$e$\;(X_{i+1},Y_{i+1})$:

$P_{i,i+1}(x)={\frac {x-X_{i+1}}{X_{i}-X_{i+1}}}Y_{i}+{\frac {x-X_{i}}{X_{i+1}-X_{i}}}Y_{i+1}\;.$

Vemos que $P_{i,i+1}(x)\;$pode ser escrito como:

$P_{i,i+1}(x)={\frac {(x-X_{i+1})P_{i}(x)-(x-X_{i})P_{i+1}(x)}{X_{i}-X_{i+1}}}$

Isto sugere que há uma relação entre os polinômios de ordem $\;n$ com os de ordem $\;n+1$. Para verificar isto, vamos considerar, agora, uma parábola passando extamente sobre $(X_{i},Y_{i})\;,(X_{i+1},Y_{i+1})$ e$\;(X_{i+2},Y_{i+2})$, que denotaremos por,$\;P_{i,i+1,i+2}(x)$:

$P_{i,i+1,i+2}(x)={\frac {x-X_{i+1}}{X_{i}-X_{i+1}}}{\frac {x-X_{i+2}}{X_{i}-X_{i+2}}}Y_{i}+{\frac {x-X_{i}}{X_{i+1}-X_{i}}}{\frac {x-X_{i+2}}{X_{i+1}-X_{i+2}}}Y_{i+1}+{\frac {x-X_{i}}{X_{i+2}-X_{i}}}{\frac {x-X_{i+1}}{X_{i+2}-X_{i+1}}}Y_{i+2}$

Fatorando $\;1/(X_{i}-X_{i+2})$ e somando e subtraindo ${\frac {x-X_{i}}{X_{i+1}-X_{i}}}(x-X_{i+2})Y_{i+1}$, obtemos:

$P_{i,i+1,i+2}(x)={\frac {1}{X_{i}-X_{i+2}}}\left[(x-X_{i+2})P_{i,i+1}(x)-F(x)\right]$

onde

$F(x)=(x-X_{i})\left[{\frac {x-X_{i+1}}{X_{i+2}-X_{i+1}}}Y_{i+2}-{\frac {X_{i}-X_{i+2}}{X_{i+1}-X_{i}}}{\frac {x-X_{i+2}}{X_{i+1}-X_{i+2}}}Y_{i+1}+{\frac {x-X_{i+2}}{X_{i+1}-X_{i}}}Y_{i+1}\right]\;.$

Note que o último termo desta expressão corresponde àquele que foi subtraído após seu termo de sinal contrário ter sido somado à expressão que levou a$\;P_{i,i+1}(x)$ na equação para$\;P_{i,i+1,i+2}(x)$. Rearranjando os termos acima, encontramos:

$F(x)=(x-X_{i})\left[{\frac {x-X_{i+2}}{X_{i+1}-X_{i+2}}}Y_{i+1}+{\frac {x-X_{i+1}}{X_{i+2}-X_{i+1}}}Y_{i+2}\right]=(x-X_{i})P_{i+1,i+2}(x)\;.$

Substituindo este resultado na equação para$\;P_{i,i+1,i+2}(x)$, obtemos finalmente:

$P_{i,i+1,i+2}(x)={\frac {1}{X_{i}-X_{i+2}}}\left[(x-X_{i+2})P_{i,i+1}(x)-(x-X_{i})P_{i+1,i+2}(x)\right]$

Assim, notamos que, de fato, há uma relação de recorrência bastante simples entre os polinômios que envolvem $\;n$ e $\;n+1$ pontos, cuja forma geral é dada por:

$P_{i,i+1,\cdots ,i+k}(x)={\frac {1}{X_{i}-X_{i+k}}}\left[(x-X_{i+k})P_{i,i+1,\cdots ,i+k-1}(x)-(x-X_{i})P_{i+1,i+2,\cdots ,i+k}(x)\right]$

Por ser muito mais simples de se implementar numericamente do que a expressão original para $\;P(x)$, é esta relação de recorrência que é, de fato, utilizada em cálculos numéricos. Os erros cometidos podem ser estimados calculando-se as diferenças entre as diferentes ordens do polinômio:

$D_{k,i}^{(1)}(x)=P_{i,i+1,\cdots ,i+k}(x)-P_{i,i+1,\cdots ,i+k-1}(x)$

e

$D_{k,i}^{(2)}(x)=P_{i,i+1,\cdots ,i+k}(x)-P_{i+1,i+2,\cdots ,i+k}(x)\;.$

Ao invés de se gerar $\;P(x)$ a partir da relação de recorrência para $P_{i,i+1,\cdots ,i+k}(x)$, pode-se utilizar as equações acima e obter relações de recorrência para $\;D^{(1)}{\mbox{ e }}D^{(2)}$. No final, obtemos $\;P(x)$ a partir destas quantidades. Este desenvolvimento é deixado como exercício.

É importante notar que em nenhum ponto da discussão foi evocada a necessidade dos pontos $\;\{X_{i}\}$ serem igualmente espaçados. Portanto, as fórmulas apresentadas aqui podem ser aplicadas em situações bastante gerais.

---

Voltar para o índice de Métodos computacionais.