Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

Equação de Liouville-bratu-Gelfand

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

\nabla ^{2}\psi +\lambda e^{\psi }=0

Essa equação aparece em problemas de Avalanche térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

A solução de Liouville

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

$\lambda e^{\psi }(u^{2}+v^{2}+1)^{2}=2\left[\left({\dfrac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\dfrac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}\right]$

onde $u=u(x)$ , $v=v(x)$ , e $f(z)=u+iv$ é uma função analítica arbitrária com $z=x+iy$ . Em 1915, G.W. Walker^[1] encontrou uma solução assumindo uma forma para $f(z)$ . Se $r^{2}=x^{2}+y^{2}$ , então a solução de Walker é

8e^{-\psi }=\lambda \left[\left({\frac {r}{a}}\right)^{n}+\left({\frac {a}{r}}\right)^{n}\right]^{2}

onde $a$ é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer $n$ , mas vai ao infinito na origem $n<1$ , finito na origem para $n=1$ e vai a zero na origem para $n>1$ . Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.

Formas radialmente simétricas

Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em $n$ dimensões torna-se

\psi ''+{\frac {n-1}{r}}\psi '+\lambda e^{\psi }=0

onde $r$ é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno

\psi '(0)=0,\quad \psi (1)=0

e para $\lambda \geq 0$ , uma solução real existe apenas para $\lambda \in [0,\lambda _{c}]$ , onde $\lambda _{c}$ é o parâmetro crítico chamado de parâmetro de Frank-Kamenetskii. O parâmetro crítico é $\lambda _{c}=0.8785$ para $n=1$ , $\lambda _{c}=2$ para $n=2$ e $\lambda _{c}=3.32$ para $n=3$ . Para $n=1,\ 2$ , existem duas soluções e para $3\leq n\leq 9$ existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto $\lambda =2(n-2)$ . Para $n\geq 10$ , a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por $\lambda _{c}=2(n-2)$ . A multiplicidade de soluções para $n=3$ foi descoberta por Israel Gelfand em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os $n$ por Daniel D. Joseph e Thomas S. Lundgren.^[2]

A solução para $n=1$ que é válida no intervalo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda \in [0,0.8785]} é dada por

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi = -2 \ln \left[e^{-\psi_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}r\right)\right]}

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_m=\psi(0)} está relacionada a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda} como

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{\psi_m/2} = \cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}\right).}

A solução para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=2} que é válida no intervalo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda \in [0,2]} é dada por

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi = \ln \left[\frac{64e^{\psi_m}}{(\lambda e^{\psi_m}r^2+8)^2}\right]}

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_m=\psi(0)} está relacionada a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda} como

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\lambda e^{\psi_m}+8)^2 - 64 e^{\psi_m} =0.}

Método Crank-Nicolson

Para resolver a equação diferencial parcial de Liouville-Bratu-Gelfand foi utilizado o método de Crank-Nicolson. Sendo a média ponderada dos métodos explícito e implícito de FTCS (Forward Time Central Space) da forma:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\psi_{j,i}^{n+1}-\psi_{j,i}^{n}}{\Delta t} = \theta . implicito + (1-\theta) . explicito }

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta = \frac{1}{2} } .

Método Explícito FTCS

Para o método explícito a equação é discretizada da seguinte forma:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \Delta t \left( \frac{\psi_{i-1,j}^{n} - 2\psi_{i,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n}}{{(\Delta x)}^2} + \frac{\psi_{i,j-1}^{n} - 2\psi_{i,j}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n}}{{(\Delta y)}^2} + \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} \right) }

considerando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x = \Delta y } resulta em:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n} + \psi_{i,j-1}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n} - 4\psi_{i,j}^{n} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} }

Método Implícito FTCS

Para o método implícito a equação é discretizada da mesma forma, porém a derivada é "para trás", resultando em:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n+1} + \psi_{i+1,j}^{n+1} + \psi_{i,j-1}^{n+1} + \psi_{i,j+1}^{n+1} - 4\psi_{i,j}^{n+1} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n+1}} }

Substituindo ambos os métodos na equação do método de Crank-Nicolson obtemos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n+1} + \psi_{i+1,j}^{n+1} + \psi_{i,j-1}^{n+1} + \psi_{i,j+1}^{n+1} - 4\psi_{i,j}^{n+1} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n+1}} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n} + \psi_{i,j-1}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n} - 4\psi_{i,j}^{n} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} \right) }

Método de Relaxação

Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t \rightarrow \infty} ).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} + \lambda e^\psi\right)} .

Onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

Referências

https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

↑ Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1
↑ Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.

[1] Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1

[2] Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.

[1]

[2]

Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

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