Equação de Ginzburg-Landau complexa

A equação de Ginzburg-Landau complexa (CGLE) é uma das equações não lineares mais estudadas da física. Ela oferece uma descrição geral de sistemas com uma fraca dependência não linear. Quando escrita de modo a minimizar o número de constantes, é dada pela equação abaixo:

$\frac{\partial A}{\partial t}=(1+ib){\mathrm{\nabla }}^{2}A+A-(1+ic)A|A{|}^2.$

Em especial, para $b=0$ e $c=0$, ela se reduz para a equação de Ginzburg-Landau real. E, para $b\to +\mathrm{\infty }$ e $c\to +\mathrm{\infty }$, ela se reduz à equação de Schrödinger não linear. Ela descreve uma variedade enorme de fenômenos, como:

• Ondas não lineares;
• Transições de fase de segunda ordem;
• Supercondutividade;
• Superfluidez;
• Condensado de Bose-Einstein.

Dedução

Figura 1 - Espaço de fase do oscilador harmônico. Fonte - Cross, M., & Greenside, H. (2009)

É possível deduzir a CGLE a partir do oscilador linear harmônico por meio de argumentos de simetria, encontrando a equação de Stuart-Landau, e, em seguida, considerando um sistema estendido no espaço. A energia de um oscilador harmônico é expressa pela equação abaixo, onde $E$ é a energia, $q$ e $p$ a coordenada e seu respectivo momento, $m$ é a massa e ${\omega }_0$ a frequência angular

$E=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }_0^2{q}^2.$

Ao realizar as seguintes mudanças de variáveis, $q\to q/m^{1/2}$ e $p\to p{m}^{1/2}$, a equação da energia produz trajetórias circulares no espaço de fase de ${\omega }_{0}q$ e $p$

$E=\frac{p^2}{2}+\frac{1}{2}{\omega }_0^2{q}^2.$

Essa é uma importante simetria do oscilador harmônico linear, resultando que a sua energia é proporcional ao quadrado da amplitude de oscilação, não dependendo da fase. Isso sugere uma motivação, qual é o menor termo não linear que pode ser adicionado de modo a preservar essa simetria. Para tanto, o estado do sistema será descrito em coordenadas polares, onde $R$ é a amplitude e $\varphi$ a fase

$\dot{R}=0,\dot{\varphi }={\omega }_0.$

Define-se, então, a variável complexa $A=R{e}^{i\varphi }$, portanto a equação acima pode ser reescrita como

$\dot{A}=i{\omega }_{0}A.$

Ao realizar a transformação de variável $A\to A{e}^{i\chi }$, com $\chi \in \mathbb{ℝ}$, a equação acima permanece inalterada. Ou seja, a equação é invariante a rotações. Então, busca-se uma função não linear $f(A,A^{*})$ tal que

$\dot{A}=i{\omega }_{0}A+f(A,A^{*})$

também seja invariante a rotações.

Então, perante às transformações $A\to A{e}^{i\chi }$ e $A^{*}\to A^{*}{e}^{-i\chi }$, a função $f(A,A^{*})$ deve satisfazer

$f(A{e}^{i\chi },A^{*}{e}^{-i\chi })=f(A,A^{*})e^{i\chi },$

para que seja possível fatorar o termo responsável pela rotação e obter novamente a equação original.

Considerando pequenas oscilações, é possível expandir $f(A,A^{*})$ em potências de $A$ e $A^{*}$ até a menor ordem possível que satisfaça a condição e que introduza uma não linearidade à equação. Com isso, obtém-se

$f(A,A^{*})={\alpha }_{1}A+{\alpha }_2|A{|}^{2}A,{\alpha }_1={\alpha }_{1r}+i{\alpha }_{1i},{\alpha }_2={\alpha }_{2r}+i{\alpha }_{2i}$

Utilizando o resultado encontrado e expressando em coordenadas polares por meio de $A=R{e}^{i\varphi }$

$\dot{R}={\alpha }_{1r}R+{\alpha }_{2r}{R}^3,\dot{\varphi }={\omega }_0+{\alpha }_{1i}+{\alpha }_{2i}{R}^2.$

Em seguida, muda-se para o referencial que gira com a mesma frequência do oscilador harmônico por meio da definição de $\varphi =\phi +{\omega }_{0}t$. As novas equações obtidas são

$\dot{R}={\alpha }_{1r}R+{\alpha }_{2r}{R}^3,\dot{\phi }={\alpha }_{1i}+{\alpha }_{2i}{R}^2.$

Para encontrar a amplitude estacionária, pode-se tomar $\dot{R}=0$ na equação, o que resulta na solução trivial $R^{(est)}=0$ e $R^{(est)}=\sqrt{-{\alpha }_{1r}/{\alpha }_{2r}}$. Então, para que exista uma amplitude estacionária não nula, os sinais de ${\alpha }_{1r}$ e de ${\alpha }_{2r}$ devem ser opostos. Além disso, por inspeção observa-se que, caso ${\alpha }_{1r}<0$ e ${\alpha }_{2r}>0$, pequenos valores de amplitude irão diminuir e grandes valores de amplitude irão aumentar, o que indica que a solução estacionária não trivial será instável. Portanto, define-se ${\alpha }_{1r}=\mu {\sigma }_1$ para ${\sigma }_1>0$, ${\alpha }_{2i}=\mu {\omega }_1$, ${\alpha }_{2r}=-g_r$ com $g_r>0$ e ${\alpha }_{2i}=-g_i$. Por fim, ao voltar para a representação no plano complexo, chega-se em

$\dot{A}=\mu ({\sigma }_1+{\omega }_1)A-(g_r+i{g}_i)|A{|}^{2}A$

Esta é a equação de Stuart-Landau. Para obter a equação complexa de Ginzburg-Landau, é necessário considerar um sistema espacialmente extenso, em que cada ponto é um oscilador modelado pela equação acima. Para isso, é adicionado um termo proporcional ao laplaciano de A, $(d_r+i{d}_i){\mathrm{\nabla }}^{2}A$, cujo significado fica evidente ao discretizar a função. Ele computa a diferença de $A$ no sítio em questão com relação à média dos sítios vizinhos, resultando em uma tendência de pontos próximos oscilarem com amplitudes e fases semelhantes. Ao adicionar esse novo termo e redefinir as constantes de modo a reduzi-las sem perder as características importantes do sistema, chega-se na equação complexa de Ginzburg-Landau

$\frac{\partial A}{\partial t}=(1+ib){\mathrm{\nabla }}^{2}A+A-(1+ic)A|A{|}^2.$

Método FTCS

Para estudar o comportamento das soluções foi utilizados o método FTCS(Foward-Time Central-Space) explícito que consiste em discretizar o domínio temporal e o espacial da equação, resolvemos as derivadas espaciais por uma aproximação dos pontos vizinhos ao ponto que queremos encontrar, enquanto atualizamos a parte temporal, também por uma aproximação como na parte espacial, porém fazemos por diferenciação entre a taxa de variação (solução futura) e a solução atual. A partir da CGLE em duas dimensões: $\frac{\partial A}{\partial t}=\alpha (\frac{{\partial }^{2}A}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}A}{\partial x^2})+A-\beta A|A{|}^2.$

para

$\alpha =(1+ib);\beta =(1+ic)$

Aplicamos o método da seguinte maneira: $\frac{A(x,y,t+\mathrm{\Delta }t)-A(x,y,t)}{\mathrm{\Delta }t}=\alpha (\frac{A(x+\mathrm{\Delta }x,y,t)-2*A(x,y,t)+A(x-\mathrm{\Delta }x,y,t)}{\mathrm{\Delta }{x}^2}+\frac{A(x,y+\mathrm{\Delta }y,t)-2*A(x,y,t)+A(x,y-\mathrm{\Delta }y,t)}{\mathrm{\Delta }{y}^2})+A(x,y,t)-\beta A(x,y,t)|A(x,y,t){|}^2.$

$\frac{A_{i,j}^{N+1}-A_{i,j}^N}{\mathrm{\Delta }t}=\alpha (\frac{A_{i+1,j}^N-2*A_{i,j}^N+A_{i-1,j}^N}{\mathrm{\Delta }{x}^2}+\frac{A_{i,j+1}^N-2*A_{i,j}^N+A_{i,j-1}^N}{\mathrm{\Delta }{y}^2})+A_{i,j}^N-\beta A_{i,j}^N|A_{i,j}^N{|}^2.$

Agora reorganizando a equação para deixar o tempo futuro na esquerda e o tempo atual na direita e considerando que os passos na direção x tem o mesmo tamanho do que os na direção y ($\mathrm{\Delta }y=\mathrm{\Delta }x$), chegamos em : $A_{i,j}^{N+1}=A_{i,j}(1+\mathrm{\Delta }t(1-\beta |A_{i,j}{|}^2))+\frac{\mathrm{\Delta }t\alpha }{\mathrm{\Delta }{x}^2}(A_{i+1,j}+A_{i-1,j}+A_{i,j+1}+A_{i,j-1}-4*A_{i,j})$

Figura 2 - Condições de contorno periódicas em duas dimensões.

Para as condições de contorno foram utilizados condições periódicas tal que na região de x usamos que quando

i=L+1 estaremos em i=1.

e para y, da mesma forma,

j=L+1 temos que j=1.

A figura 2 é a representação gráfica dessas condições.

Soluções

Figura 3 - Diagrama de fase para soluções da CGLE [3].

A partir da variação dos parâmetros c1 e c3 temos regiões que implicam em diferentes soluções para a CGLE, nossa ideia central foi começar com condição inicial de onda plana, que em teoria tende a se manter como onda plana, e perturbar essa solução, dependendo da região em que estamos no diagrama de fase a perturbação nos levara para diferentes tipos de solução sendo as principais:

• Soluções de onda plana estável
• Soluções de onda plana instável

que são delimitadas pela condição de Benjamin-Feir-Newell, que descreve a linha BFN no diagrama de fase, a condição para instabilidade é descrita por $1+bc<0$, ou seja, acima da linha temos soluções estáveis e abaixo soluções instáveis. Outras soluções que podem ser encontradas são soluções de turbulência, para fase e para a amplitude,

condição tipos de espirais -(c3 + c1)/(1 -c1*c3) = 0.845 Linha OR, interação entre espirais.

esquerda de T dinâmico turbulento, direita "congelado".

L limite da turbulência de fase

Eckhaus-stability boundary EI

boundary of absolute stability AI

Quando definimos as condições iniciais de onda plana como um seno e um termo perturbando as oscilações em $x=[40,60]$, $y=[40,60]$ com $b=0.5$, $c=-0.5$ do diagrama de fase em (figura 3) o sistema apresenta simetria entre as espirais no gráfico da parte real e também percebemos a presença de defeitos no módulo de $A(\chi ,t)$ (figura 4). Os defeitos, caracterizados pela presença de um ponto nulo no módulo da amplitude, nao se anularam pois os parametros $b$ e $c$ encontram-se em uma região de instabilidade convectiva (formação de espirais bem definidas).

Partindo das mesmas condições iniciais anteriores porém em uma região onde $b=-2.5$, $c=-0.1$, denominada Vidro de Vórtices, o padrão de espirais muda, a simetria é perdida e algumas apresentam comportamento "dominante?". Outra característica é a presença de maior número de células de defeitos que são "empurradas" pelas células maiores provenientes das grandes espirais. É interessante ressaltar que os pontos defeitos se anulam somente aos pares.

Por fim, na região chamada de Turbulência de Amplitude $b=-2$, $c=1.5$ à direita da linha AI nao encontramos espirais, as células de defeitos não se formam e temos apenas um comportamento caótico no módulo e na fase da Amplitude.

Referências

[1] García-Morales, V., & Krischer, K. (2012). The complex Ginzburg–Landau equation: an introduction. Contemporary Physics, 53(2), 79–95. https://doi.org/10.1080/00107514.2011.642554

[2] H. Riecke, (2021). Methods of Nonlinear Analysis

[3] Igor S. Aranson, Lorenz Kramer, (2001). The World of the Complex Ginzburg-Landau Equation

[4] Cross, M., & Greenside, H. (2009). Pattern Formation and Dynamics in Nonequilibrium Systems. Cambridge University Press.

[5] Hugues Chaté, Paul Manneville (1996). Phase diagram of the two-dimensional complex Ginzburg-Landau equation. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications