Equação de Dirac

Grupo: André Luis Della Valentina, Lucas dos Santos Assmann, Vinícius Bayne Müller

Introdução

A equação de Dirac descreve uma partícula relativística de spin $\frac{1}{2}$, como o elétron, com estrutura análoga a da equação de Schrödinger. Ela surgiu inicialmente como tentativa de explicar discrepâncias entre experimentos e teoria para o espectro do átomo de hidrogênio, possibilitando correções para o cálculo da energia do elétron em diferentes níveis (as chamadas correções de estrutura fina). Além disso, por meio dela foi possível prever a existência de antimatéria: descrevendo o elétron, ela também descreve o pósitron.

A fim de compatibilizar a Mecânica Quântica com a Relatividade Especial, a equação diferencial parcial é de primeira ordem tanto no tempo quanto no espaço (diferentemente da equação de Schrödinger, que é de segunda ordem no espaço). A equação de Dirac pode ser escrita de diversas formas; aqui, apresentamo-la explicitamente como um sistema de EDPs acopladas, mais conveniente para os propósitos do trabalho.

Assim como a equação de Schrödinger, a construção da equação de Dirac vem a partir do operador Hamiltoniano, que descreve a evolução temporal do estado quântico em questão:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }(\mathit{x},t)=H\mathrm{\Psi }(\mathit{x},t)$

onde, como anteriormente, os autovalores de $H$ correspondem aos valores possíveis de energia que o sistema pode assumir.

A mudança com relação à Mecânica Quântica não relativística acontece quando consideramos a energia relativística da partícula:

$E^2=p^2{c}^2+m^2{c}^4$

Assim, o Hamiltoniano é modificado para representar a medida da energia relativística total.

Diferentemente da equação de Schrödinger, aqui $\mathrm{\Psi }(\mathit{x},t)$ não representa apenas uma função de onda, mas sim um conjunto de quatro delas. Usando a notação

$\mathrm{\Psi }=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Phi }}_1\\ {\mathrm{\Phi }}_2\\ {\mathrm{\Phi }}_3\\ {\mathrm{\Phi }}_4\end{array}\right]$,

as componentes de $\mathrm{\Psi }$ representam as funções de onda associadas ao elétron e ao pósitron: ${\mathrm{\Phi }}_1$ (${\mathrm{\Phi }}_2$) representa a função de onda do elétron com spin up (down), e ${\mathrm{\Phi }}_3$ (${\mathrm{\Phi }}_4$) representa a função de onda do pósitron com spin up (down). O objeto $\mathrm{\Psi }(\mathit{x},t)$ é chamado de spinor.

Dedução da equação de Dirac em duas dimensões

Consideraremos neste trabalho a equação de Dirac em duas dimensões, $x$ e $y$. A escolha dessas coordenadas se dá pela conveniência do acoplamento das EDPs: nesse caso, as quatro equações acopladas passam a ser acopladas duas a duas, facilitando o estudo do sistema.

Construção do Hamiltoniano completo

Consideremos uma partícula sob ação de um potencial $V(\mathit{x};t)$ (onde $\mathit{x}=(x,y,z{)}^T$), que afeta a energia potencial da partícula, e de um potencial "escalar" $V_{sc}(\mathit{x};t)$, que afeta a massa de repouso da mesma. Seguindo uma das propostas possíveis para o Hamiltoniano, temos

$H=c\mathit{\alpha }\cdot \mathit{p}+\beta (m{c}^2+V_{sc})+V{I}_4$

onde $\mathit{\alpha }={\alpha }_x\hat{i}+{\alpha }_y\hat{j}+{\alpha }_z\hat{k}$; ${\alpha }_i$ e $\beta$ são matrizes 4x4 adimensionais e $\mathit{p}$ é o vetor momento linear da partícula.

Pode-se mostrar que $\mathit{\alpha }$ e $\beta$ devem satisfazer certos vínculos, limitando as escolhas possíveis para essas matrizes. A escolha mais simples e usualmente adotada consiste em tomar

$\beta =\left(\begin{array}{cc}{I}_2& 0\\ 0& -I_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)$

${\alpha }_x=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_x\\ {\sigma }_x& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right)$

${\alpha }_y=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_y\\ {\sigma }_y& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& -i\\ 0& 0& i& 0\\ 0& -i& 0& 0\\ i& 0& 0& 0\end{array}\right)$

${\alpha }_z=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_z\\ {\sigma }_z& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& -1\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\end{array}\right)$

Sendo $\mathit{p}=-i\hslash \mathrm{\nabla }$, podemos escrever o produto escalar $\mathit{\alpha }\cdot \mathit{p}$ como

$\mathit{\alpha }\cdot \mathit{p}=-i\hslash ({\alpha }_x\frac{\partial }{\partial x}+{\alpha }_y\frac{\partial }{\partial y}+{\alpha }_z\frac{\partial }{\partial z})$

Portanto, em notação matricial o Hamiltoniano $H$ pode ser escrito como

$H=-i\hslash c\left(\begin{array}{cccc}0& 0& \frac{\partial }{\partial z}& \frac{\partial }{\partial x}-i\frac{\partial }{\partial y}\\ 0& 0& \frac{\partial }{\partial x}+i\frac{\partial }{\partial y}& -\frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{\partial }{\partial z}& \frac{\partial }{\partial x}-i\frac{\partial }{\partial y}& 0& 0\\ \frac{\partial }{\partial x}+i\frac{\partial }{\partial y}& -\frac{\partial }{\partial z}& 0& 0\\ \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc}V+m{c}^2+V_{sc}& 0& 0& 0\\ 0& V+m{c}^2+V_{sc}& 0& 0\\ 0& 0& V-m{c}^2-V_{sc}& 0\\ 0& 0& 0& V-m{c}^2-V_{sc}\\ \end{array}\right)$ $H=\left(\begin{array}{cccc}V+m{c}^2+V_{sc}& 0& -i\hslash c\frac{\partial }{\partial z}& -i\hslash c\frac{\partial }{\partial x}-\hslash c\frac{\partial }{\partial y}\\ 0& V+m{c}^2+V_{sc}& -i\hslash c\frac{\partial }{\partial x}+\hslash c\frac{\partial }{\partial y}& i\hslash c\frac{\partial }{\partial z}\\ -i\hslash c\frac{\partial }{\partial z}& -i\hslash c\frac{\partial }{\partial x}-\hslash c\frac{\partial }{\partial y}& V-m{c}^2-V_{sc}& 0\\ -i\hslash c\frac{\partial }{\partial x}+\hslash c\frac{\partial }{\partial y}& i\hslash c\frac{\partial }{\partial z}& 0& V-m{c}^2-V_{sc}\\ \end{array}\right)$

Unidades naturais e redução para duas dimensões

A fim de simplificar o formalismo, adotamos as chamadas "unidades naturais", onde $\hslash =c=m=1$. Note que isso equivale a reescalar as quantidades físicas do problema por um fator adequado. Ao fazer $c=1$, também assumimos que a partícula está no limite relativístico.

Além disso, queremos estudar o problema em duas dimensões. Observamos que $\mathrm{\Psi }(x,y,z)=\mathrm{\Psi }(x,y)$; logo, $\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial z}=0$. Portanto, temos o Hamiltoniano simplificado

$H=\left(\begin{array}{cccc}V+1+V_{sc}& 0& 0& -i\frac{\partial }{\partial x}-\frac{\partial }{\partial y}\\ 0& V+1+V_{sc}& -i\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}& 0\\ 0& -i\frac{\partial }{\partial x}-\frac{\partial }{\partial y}& V-1-V_{sc}& 0\\ -i\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}& 0& 0& V-1-V_{sc}\\ \end{array}\right)$

Forma explícita final

Retornando ao problema original, queremos resolver

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }=H\mathrm{\Psi }\to [i{I}_4\frac{\partial }{\partial t}-H]\mathrm{\Psi }=0$

Novamente utilizando a notação matricial, obtemos

$\left(\begin{array}{cccc}i\frac{\partial }{\partial t}-V-V_{sc}-1& 0& 0& i\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}\\ 0& i\frac{\partial }{\partial t}-V-V_{sc}-1& i\frac{\partial }{\partial x}-\frac{\partial }{\partial y}& 0\\ 0& i\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}& i\frac{\partial }{\partial t}-V+V_{sc}+1& 0\\ i\frac{\partial }{\partial x}-\frac{\partial }{\partial y}& 0& 0& i\frac{\partial }{\partial t}-V+V_{sc}+1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Phi }}_1\\ {\mathrm{\Phi }}_2\\ {\mathrm{\Phi }}_3\\ {\mathrm{\Phi }}_4\end{array}\right)=0$

Realizando a multiplicação matricial, pode-se ver que se obtém dois sistemas acoplados: ${\mathrm{\Phi }}_1$ com ${\mathrm{\Phi }}_4$ e ${\mathrm{\Phi }}_2$ com ${\mathrm{\Phi }}_3$. Escolhendo o sistema de ${\mathrm{\Phi }}_1$ com ${\mathrm{\Phi }}_4$:

$\{\begin{array}{l}(i\frac{\partial }{\partial t}-V-V_{sc}-1){\mathrm{\Phi }}_1+(i\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}){\mathrm{\Phi }}_4=0\\ (i\frac{\partial }{\partial x}-\frac{\partial }{\partial y}){\mathrm{\Phi }}_1+(i\frac{\partial }{\partial t}-V+V_{sc}+1){\mathrm{\Phi }}_4=0\end{array}$

Simplificando e isolando a derivada temporal, obtemos por fim

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_1}{\partial t}=-i(V+V_{sc}+1){\mathrm{\Phi }}_1-\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_4}{\partial x}+i\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_4}{\partial y}\\ \frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_4}{\partial t}=-i(V-V_{sc}-1){\mathrm{\Phi }}_4-\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_1}{\partial x}-i\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_1}{\partial y}\end{array}$

Referências

1. The quantum theory of the electron. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character, v. 117, n. 778, p. 610–624, fev. 1928.
2. SAKURAI, J. J. Mecânica quântica moderna. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
3. BAO, W. et al. Numerical Methods and Comparison for the Dirac Equation in the Nonrelativistic Limit Regime. Journal of Scientific Computing, v. 71, n. 3, p. 1094–1134, jun. 2017.