Equação de Ginzburg-Landau complexa

A equação de Ginzburg-Landau complexa (CGLE) surgiu inicialmente em 1969 como um modelo para o inicio de instabilidades em problemas de convecção de fluídos. A partir de então, ela se tornou uma das equações não lineares mais estudadas da física, descrevendo uma variedade enorme de fenômenos como:

• Ondas não lineares;
• Transições de fase de segunda ordem;
• Supercondutividade;
• Superfluidez;
• Condensado de Bose-Einstein.

A equação de Ginzburg-Landau complexa, quando escrita de modo a minimizar o número de constantes, é dada pela equação abaixo:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial A}{\partial t} = (1+ic_1)\nabla^2 A + A - (1-ic_3) A|A|^2. }

É possível deduzir a CGLE a partir do oscilador linear harmônico por meio de argumentos de simetria, encontrando a equação de Stuart-Landau, e, em seguida, considerando um sistema estendido no espaço.

Dedução

Espaço de fase do oscilador harmônico

A energia de um oscilador harmônico é expressa pela equação abaixo, onde $E$ é a energia, $q$ e $p$ a coordenada e seu respectivo momento, $m$ é a massa e $\omega _{0}$ a frequência angular

$E={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{0}^{2}q^{2}.$

Ao realizar as seguintes mudanças de variáveis, $q\rightarrow q/m^{1/2}$ e $p\rightarrow pm^{1/2}$, a equação da energia produz trajetórias circulares no espaço de fase de $\omega _{0}q$ e $p$

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E = \frac{p^2}{2} + \frac{1}{2}\omega_0^2 q^2. }

Essa é uma importante simetria do oscilador harmônico linear, resultando que a sua energia é proporcional ao quadrado da amplitude de oscilação, não dependendo da fase. Isso sugere uma motivação, qual é o menor termo não linear que pode ser adicionado de modo a preservar essa simetria. Para tanto, o estado do sistema será descrito em coordenadas polares, onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} é a amplitude e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi} a fase

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{R} = 0, \quad \dot{\phi} = \omega_0. }

Define-se, então, a variável complexa Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A = R e^{i \phi}} , portanto a equação acima pode ser reescrita como

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{A} = i \omega_0 A. }

Ao realizar a transformação de variável Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A \rightarrow A e^{i \chi}} , com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \chi \in \mathbb{R}} , a equação acima permanece inalterada. Ou seja, a equação é invariante a rotações. Então, busca-se uma função não linear Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(A, A^*)} tal que

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{A} = i \omega_0 A + f(A, A^*) }

também seja invariante a rotações.

Então, perante às transformações Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A \rightarrow A e^{i \chi}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A^* \rightarrow A^* e^{-i \chi}} , a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(A, A^*)} deve satisfazer

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(A e^{i \chi}, A^* e^{-i \chi}) = f(A, A^*) e^{i \chi}, }

para que seja possível fatorar o termo responsável pela rotação e obter novamente a equação original.

Considerando pequenas oscilações, é possível expandir Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(A, A^*)} em potências de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A^*} até a menor ordem possível que satisfaça a condição e que introduza uma não linearidade à equação. Com isso, obtém-se

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(A, A^*) = \alpha_1 A + \alpha_2 |A|^2 A, \quad \alpha_1 = \alpha_{1r} + i \alpha_{1i}, \quad \alpha_2 = \alpha_{2r} + i \alpha_{2i} }

Utilizando o resultado encontrado e expressando em coordenadas polares por meio de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A = R e^{i\phi}}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{R} = \alpha_{1r} R + \alpha_{2r} R^3, \quad \dot{\phi} = \omega_0 + \alpha_{1i} + \alpha_{2i} R^2. }

Em seguida, muda-se para o referencial que gira com a mesma frequência do oscilador harmônico por meio da definição de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi = \varphi + \omega_0 t} . As novas equações obtidas são

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{R} = \alpha_{1r} R + \alpha_{2r} R^3, \quad \dot{\varphi} = \alpha_{1i} + \alpha_{2i} R^2. }

Para encontrar a amplitude estacionária, pode-se tomar Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{R} = 0} na equação, o que resulta na solução trivial Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^{(est)} = 0} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^{(est)} = \sqrt{-\alpha_{1r}/\alpha_{2r}}}

Método FTCS

Para estudar o comportamento das soluções foi utilizados o método FTCS(Foward-Time Central-Space) que consiste em discretizar a solução temporal e a solução espacial da equação, resolvemos as derivadas espaciais por uma aproximação dos pontos vizinhos ao ponto que queremos encontrar, enquanto atualizamos a parte temporal, também por uma aproximação como na parte espacial porém fazemos por uma diferenciação entre a taxa de variação (solução futura) e a solução atual. A partir da equação em duas dimensões: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial A}{\partial t} = \alpha(\frac{\partial^2 A}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 A}{\partial x^2}) + A - \beta A|A|^2. }

onde

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha = (1+ic_1); \beta = (1-ic_1) }

Aplicamos o método da seguinte maneira: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{A(x,y,t+\Delta t) - A(x,y,t)}{\Delta t} = \alpha(\frac{A(x+\Delta x,y,t) - 2*A(x,y,t) + A(x-\Delta x,y,t)}{\Delta x^2}+\frac{A(x,y+\Delta y,t) - 2*A(x,y,t) + A(x,y-\Delta y,t)}{\Delta y^2}) + A(x,y,t) - \beta A(x,y,t)|A(x,y,t)|^2. }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{A_{i,j}^{N+1} - A_{i,j}^{N}}{\Delta t} = \alpha(\frac{A_{i+1,j}^{N} - 2*A_{i,j}^{N} + A_{i-1,j}^{N}}{\Delta x^2}+\frac{A_{i,j+1}^{N} - 2*A_{i,j}^{N} + A_{i,j-1}^{N}}{\Delta y^2}) + A_{i,j}^{N} - \beta A_{i,j}^{N}|A_{i,j}^{N}|^2. }

Agora reorganizando a equação para deixar o tempo futuro na esquerda e o tempo atual na direita e considerando que os passos na direção x tem o mesmo tamanho do que os na direção y (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta y = \Delta x} ), chegamos em : Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{i,j}^{N+1} = A_{i,j}(1+\Delta t(1-\beta|A_{i,j}|))+\frac{\Delta t \alpha}{\Delta x}(A_{i+1,j}+A_{i-1,j}+A_{i,j+1}+A_{i,j-1} - 4*A_{i,j}) }