Equação de Ginzburg-Landau complexa

A equação de Ginzburg-Landau complexa (CGLE) surgiu inicialmente em 1969 como um modelo para o inicio de instabilidades em problemas de convecção de fluídos. A partir de então, ela se tornou uma das equações não lineares mais estudadas da física, descrevendo uma variedade enorme de fenômenos como:

• Ondas não lineares;
• Transições de fase de segunda ordem;
• Supercondutividade;
• Superfluidez;
• Condensado de Bose-Einstein.

A equação de Ginzburg-Landau complexa, quando escrita de modo a minimizar o número de constantes, é dada pela equação abaixo:

$\frac{\partial A}{\partial t}=(1+i{c}_1){\mathrm{\nabla }}^{2}A+A-(1-i{c}_3)A|A{|}^2.$

É possível deduzir a CGLE a partir do oscilador linear harmônico por meio de argumentos de simetria, encontrando a equação de Stuart-Landau, e, em seguida, considerando um sistema estendido no espaço.

Dedução

Espaço de fase do oscilador harmônico

A energia de um oscilador harmônico é expressa pela equação abaixo, onde $E$ é a energia, $q$ e $p$ a coordenada e seu respectivo momento, $m$ é a massa e ${\omega }_0$ a frequência angular

$E=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }_0^2{q}^2.$

Ao realizar as seguintes mudanças de variáveis, $q\to q/m^{1/2}$ e $p\to p{m}^{1/2}$, a equação da energia produz trajetórias circulares no espaço de fase de ${\omega }_{0}q$ e $p$

$E=\frac{p^2}{2}+\frac{1}{2}{\omega }_0^2{q}^2.$

Essa é uma importante simetria do oscilador harmônico linear, resultando que a sua energia é proporcional ao quadrado da amplitude de oscilação, não dependendo da fase. Isso sugere uma motivação, qual é o menor termo não linear que pode ser adicionado de modo a preservar essa simetria. Para tanto, o estado do sistema será descrito em coordenadas polares, onde $R$ é a amplitude e $\varphi$ a fase

$\dot{R}=0,\dot{\varphi }={\omega }_0.$

Definindo a variável complexa $A=R{e}^{i\varphi }$, a equação acima pode ser reescrita como

$\dot{A}=i{\omega }_{0}A.$

Realizando a transformação de variável $A\to A{e}^{i\chi }$, com $\chi \in \mathbb{ℝ}$, a equação acima permanece inalterada. Ou seja, a equação é invariante a rotações. Então, busca-se uma função não linear $f(A,A^{*})$ tal que

$\dot{A}=i{\omega }_{0}A+f(A,A^{*})$

também seja invariante a rotações.

Então, perante às transformações $A\to A{e}^{i\chi }$ e $A^{*}\to A^{*}{e}^{-i\chi }$, a função $f(A,A^{*})$ deve satisfazer

$f(A{e}^{i\chi },A^{*}{e}^{-i\chi })=f(A,A^{*})e^{i\chi },$

para que seja possível fatorar o termo responsável pela rotação e obter novamente a equação original.

Considerando pequenas oscilações, é possível expandir $f(A,A^{*})$ em potências de $A$ e $A^{*}$ até a menor ordem possível que satisfaça a condição e que introduza uma não linearidade à equação. Com isso, obtém-se

$f(A,A^{*})={\alpha }_{1}A+{\alpha }_2|A{|}^{2}A,{\alpha }_1={\alpha }_{1r}+i{\alpha }_{1i},{\alpha }_2={\alpha }_{2r}+i{\alpha }_{2i}$