Equação de Kuramoto–Sivashinsky
Nesta página apresentamos uma simulação de Dinâmica Molecular utilizando o potencial de Lennard-Jones como potencial de interação entre as partículas.
Equação
A equação de Kuramoto-Sivashinsky (KS) foi inicialmente proposta por Yoshiki Kuramoto e Gregory Sivashinsky para a modelagem das instabilidades da frente de uma chama laminar.
No entanto, a forma diferencial da equação foi descoberta independentemente na área de dinâmica de fluidos, onde ficou mais conhecida para a modelagem de filmes finos.
A equação apresenta comportamentos caóticos ao ser estudada em geometrias anelares, ou seja, condições de contorno periódicas; por isso esse será o caso estudado aqui.
Métodos de Solução
Diferenças Finitas (FTCS)
O método mais simples foi aplicado a fim de entender o comportamento da equação. Tentativas de linearização resultaram em uma equação de comportamento muito distinto do descrito na literatura; e portanto, não é de nosso interesse estudá-la. É importante relembrar que a aplicação do método FTCS não é recomendado no caso de não linearidades pois o método tem baixa precisão e pode acumular erros.
Como esperado, a solução numérica teve sua estabilidade atrelada à suas condições iniciais; ou seja, a solução é instável (exceto em casos bem específicos, onde ela se comporta de forma análoga à equação da difusão).
Método Espectral (FFT)
Utilizando o método fft em conjunto com as propriedades da transformada de fourier, pode-se resolver a EDP utilizando a forma de derivada espectral. Esse método possui alta precisão e é capaz de incorporar o comportamento ondulatório de soluções, algo característico da equação de Kuramoto-Sivashinsky.
A derivada espectral é caracterizada pela transformada de fourier de uma derivada, o que facilita a resolução de equações diferenciais parciais.
Essa propriedade permite que a resolução da parte espacial da equação de Kuramoto-Sivashinsky diferencial seja dada por
,
onde . A parte temporal também pode ser resolvida da mesma forma, mas o método de Runge-Kutta (RK45) foi aplicado em seu lugar por sua maior simplicidade e velocidade de processamento.