Modelo de Gray-Scott

Análise de estabilidade

O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros $F,k$ e dos coeficientes de difusão $D_{u},D_{v}$. É fácil mostrar que, ignorando os termos de difusão, o sistema possui estado de equilíbrio em $(u^{*},v^{*})=(1,0)$.

Afirmação: O modelo de Gray-Scott possui estado de equilíbrio homogêneo em $(u^{*},v^{*})=(1,0)$.

Demonstração: Resolvendo o sistema de equações do modelo com ${\frac {\partial u}{\partial t}}=0$ e ${\frac {\partial v}{\partial t}}=0$ e fazendo $D_{u}=D_{v}=0$, temos

$0=-uv^{2}+F(1-u)$

$0=uv^{2}-(F+k)v$

É então trivial que o sistema acima é satisfeito quando $(u^{*},v^{*})=(1,0)$.

Esse estado de equilíbrio é estável no modelo de Gray-Scott para quaisquer valores positivos de $F,k,D_{u}$, e $D_{v}$. É possível mostrar isso a partir da determinação dos autovalores da matriz

$\left(J-D\omega ^{2}\right){\Bigg |}_{f=f_{eq}}$

Aqui, $J$ é a matriz jacobiana dos termos de reação, $D$ é a matriz diagonal dos termos de difusão e $\omega$ é o parâmetro que determina a frequência espacial das perturbações. A demonstração da validade desse método pode ser encontrada na referência. Aplicando ao modelo de Gray-Scott em $(u^{*},v^{*})=(1,0)$

$\left(\left({\begin{array}{cc}-F-v^{2}&-2uv\\v^{2}&-F-k+2uv\end{array}}\right)-\left({\begin{array}{cc}D_{u}&0\\0&D_{v}\end{array}}\right)\omega ^{2}\right){\Bigg |}_{(u,v)=(1,0)}=\left({\begin{array}{cc}-F-D_{u}\omega ^{2}&0\\0&-F-k-D_{v}\omega ^{2}\end{array}}\right)$

Para que o estado de equilíbrio $(u^{*},v^{*})=(1,0)$ seja estável é necessário que o determinante da matriz acima seja positivo e o seu traço seja negativo. Obtém-se então

$(F+D_{u}\omega ^{2})(F+k+D_{v}\omega ^{2})>0$

$-2F-(D_{u}+D_{v})\omega ^{2}-k<0$

Ambas desigualdades são imediatamente satisfeitas para quaisquer valores positivos de $F,k,D_{u}$, e $D_{v}$. Portanto, o estado de equilíbrio $(u^{*},v^{*})=(1,0)$ é estável no modelo de Gray-Scott nessas condições.

Como o modelo claramente exibe padrões complexos para diversos valores positivos de $F,k,D_{u}$, e $D_{v}$, devem então existir outros estados de equilíbrio e pelo menos um deles deve ser instável para determinados valores dos parâmetros. De fato, há outros dois estados de equilíbrio.

Os outros estados de equilíbrio do modelo de Gray-Scott, ditos não triviais, são $(u_{+},v_{-})$ e $(u_{-},v_{+})$, com

$u_{\pm }={\frac {1}{2}}(1\pm {\sqrt {1-4\gamma ^{2}F}})$

$v_{\mp }={\frac {1}{2\gamma ^{2}}}(1\mp {\sqrt {1-4\gamma ^{2}F}})$

$\gamma ={\frac {F+k}{F}}$

Esses estados são de equilíbrio quando $F\geq 4(F+k)^{2}$.