Análise de estabilidade
O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros
e dos coeficientes de difusão
. É fácil mostrar que, ignorando os termos de difusão, o sistema possui estado de equilíbrio em
.
Afirmação: O modelo de Gray-Scott possui estado de equilíbrio homogêneo em
.
Demonstração: Resolvendo o sistema de equações do modelo com
e
e fazendo
, temos
É então trivial que o sistema acima é satisfeito quando
.
Esse estado de equilíbrio é estável no modelo de Gray-Scott para quaisquer valores positivos de
, e
. É possível mostrar isso a partir da determinação dos autovalores da matriz
Aqui,
é a matriz jacobiana dos termos de reação,
é a matriz diagonal dos termos de difusão e
é o parâmetro que determina a frequência espacial das perturbações. A demonstração da validade desse método pode ser encontrada na referência[1]. Aplicando ao modelo de Gray-Scott em
Para que o estado de equilíbrio
seja estável é necessário que o determinante da matriz acima seja positivo e o seu traço seja negativo. Obtém-se então
Ambas desigualdades são imediatamente satisfeitas para quaisquer valores positivos de
, e
. Portanto, o estado de equilíbrio
é estável no modelo de Gray-Scott nessas condições.
Como o modelo claramente exibe padrões complexos para diversos valores positivos de
, e
, devem então existir outros estados de equilíbrio. De fato, há outros dois.
Teste
- ↑ H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems", p. 287. Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.