Dinâmica Molecular de Partículas-Planares Interagentes

Em construção

Grupo: Antônio Carlan, Gabriela Pereira, Renan Soares e Victor Gandara

Objetivo:

O modelo

É possível criar um modelo simplificado de interação de partículas imaginando que todas elas são compostas por planos de mesma massa e sem espessura, paralelos entre si e com liberdade de movimento relevante no eixo perpendicular às superfícies das mesmas.

Tal modelo pode ser utilizado para estudar a dinâmica de um número elevado de partículas e conta com algumas particularidades simplificadoras de complexidade numérica. Alguns estudos utilizam esse modelo para estudar o comportamento de feixes carregados com a menor dimensionalidade possível [1] e também para sistemas auto-gravitantes [2]. As duas aplicações citadas serão as demonstradas a seguir mas o modelo é versátil para diferentes condições iniciais e de contorno.

Descrição do Modelo

Disposição espacial

Um número "N" de partículas-plano de mesma massa é disposto ao longo do eixo x com uma função de distribuição n(x) e com todas as partículas paralelas ao plano yz. No caso do modelo auto-gravitante, movimentos ao longo do eixo z não têm relevância prática mas para o modelo de um feixe de planos é definido que todos os planos se movem na direção z com mesma velocidade.

A consideração de movimento ao longo do eixo z para o modelo de feixe é importante para a análise do comportamento do espaço de fases ao longo do comprimento do acelerador de partículas. Aqui, podemos imaginar estudar casos em que o feixe gerado inicialmente no espaço de fase terá um comportamento constante no tempo para cada secção transversal em xy para uma coordenada em z pré-estabelecida.

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Ausência de Efeitos de Colisão

O modelo leva em consideração que todas os planos possuem a mesma massa e que as colisões não levam a perda de energia no sistema.

Dessa forma podemos prever o que ocorre quando a posição de dois planos coincide pois há conservação no momento linear em x e o coeficiente de restituição (razão entre as velocidades de afastamento e aproximação dos corpos) é igual a 1.

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${\begin{cases}mv_{1}-mv_{2}=-mv_{1}'+mv_{2}'\\\\{\frac {v_{1}'+v_{2}'}{v_{1}+v_{2}}}=1\end{cases}}$

O sistema de equações resulta em: $v_{1}'=v_{2}\ \ \ ;\ \ \ v_{2}'=v_{1}$

Dessa forma, é irrelevante ponderar se houve de fato uma colisão com troca de velocidades ou se as partículas simplesmente cruzam sem interferir de forma relevante. A última consideração é a levada em conta no ponto de vista computacional pois exclui a necessidade de atualizar a velocidade das partículas que passaram pela mesma posição no eixo x.

Interação entre as partículas

Para analisar a interação entre as partículas é preciso entender como uma única partícula afeta seu entorno.

No caso das partículas-plano carregadas eletricamente podemos considerar os efeitos de campo elétrico de um isolante plano infinito:

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Pela lei de Gauss, para uma dada distribuição de carga com densidade superficial $\sigma$:

$\oint {\overrightarrow {E}}.d{\overrightarrow {S}}={\frac {Q_{int}}{\epsilon _{0}}}E.A-(-E.A)={\frac {\sigma .A}{\epsilon _{0}}}E={\frac {\sigma }{2\epsilon _{0}}}$

O mesmo pode ser feito para um plano com densidade de massa distribuída uniformemente, para o caso do sistema auto-gravitante, com mudança na constante física multiplicativa e no sinal.

O fato importante a ser destacado aqui é a total independência do campo gerado pela partícula e a distância. Dessa forma, a interação entre as partículas em qualquer sistema que seguir esse modelo não terá dependência da distância entre elas e sim da posição relativa entre as partículas consideradas.

Interferência externa do sistema

Para o caso dos planos no sistema auto-gravitante não é necessária ação externa alguma para manter o equilíbrio em um sistema dinâmico estável. Sempre é levado em conta que todas as partículas têm velocidade em x inferior a velocidade de escape do restante do sistema e, por conta disso e das forças sempre atrativas de interação, o sistema não expande indefinidamente.

Já no caso de planos carregados eletricamente as forças de interação entre os planos serão sempre repulsivas e a energia total do sistema é positiva. Sem uma interação externa, mesmo um sistema composto por um número limitado de partículas de fraca interação expandiria indefinidamente. Por causa disso, nesse caso é considerado que há uma força colimadora no feixe de planos proporcional a distância da origem. A origem dessa força externa vem de modelos de maior dimensionalidade de aceleradores de partícula que contam com um campo magnético externo capaz de colimar um feixe de cargas radialmente, por não existir um paralelo direto para o modelo unidimensional consideramos apenas uma força restauradora que impede a expansão indefinida do sistema como um todo. Também é possível ajustar condições de contorno simulando as paredes externas do acelerador como placas condutoras infinitas e com potencial definido. Esse tipo de consideração pode ser feita para sistemas que não são simétricos e impede que as cargas se afastem demasiadamente da origem.

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Comportamento de uma Partícula no Sistema

Graças a caracterização das partículas temos que o campo gerado por uma partícula-plano pode ser caracterizado (para ambos os sistemas citados) da seguinte forma:

$E_{i}(x)=-\lambda \Theta [-(x-x_{i})]+\lambda \Theta (x-x_{i})$

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Em que a constante $\lambda$ pode ser tanto positiva (cargas positivas) quanto negativa (cargas negativas ou interação gravitacional) e a função $\Theta$ equivale a função degrau de Heaviside:

$\Theta (x)={\begin{cases}0,\ \ x<0\\1,\ \ x>0\end{cases}}$

Dessa forma, para exemplificação, um sistema de 5 partículas-plano teria uma interação da seguinte forma:

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Aqui, F seria a força de interação entre duas partículas no caso de planos carregados. É possível notar que a força de interação varia de duas unidades dessa constante para cada partícula contada em uma direção e que a força máxima sentida (pelas partículas-plano localizadas nas extremidades) é proporcional a $(N-1)$.

É possível notar que para uma distribuição de partículas-plano do tipo:

$n(x)=\sum _{i=1}^{N}\delta (x_{i})$

com o índice $\ \ ''i''\$ sendo a ordem da partícula contada do sentido negativo para o positivo do eixo x, teremos uma força resultante de interação para uma partícula que pode ser definida por

Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle F_i = [-(N-1) + 2(i-1)]F \\ \\ \\ \\ F_i = (2i - N-1)F }

Essa força é suficiente para manter o sistema auto-gravitante coeso mas para as partículas carregadas devemos adicionar a força restauradora descrita anteriormente:

Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle F^{grav.}_{R,i} = (2i - N-1)F \\ }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F^{el.}_{R,i} = (2i - N-1)F - \kappa x_i \\ \\ }

Conservação da Energia do Sistema

Ao realizar uma simulação numérica com um grande número de entes que representam um sistema físico é importante que seja feita uma verificação sobre o quão apropriados os resultados da simulação de fato são. Uma das formas mais comuns de verificar se uma simulação numérica está correta na dinâmica molecular de vários corpos e efetuar periodicamente a soma da energia do sistema.

No caso de sistemas como os descritos, não há nenhum incremento de energia proveniente de uma fonte externa. Mesmo para o sistema eletricamente carregado, a força restauradora é potencial e não muda a energia total do sistema dada uma distribuição inicial de posição e momento.

Para todos os efeitos, a energia dos sistemas estudados pode ser dividida em três partes:

Energia Cinética

Todas as partículas da distribuição escolhida terão massa e velocidade, de forma que a energia cinética do sistema será dada por:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle En_{cin} = \frac{m}{2}\sum_{i=1}^N \dot{x_i}^2 \\ }

Energia Potencial Restauradora

Observada no sistema eletricamente carregado citado, pode ser descrita como:

Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle En_{pot} = \frac{\kappa}{2}\sum_{i=1}^N x_i^2 \\ }

Energia Potencial Intrínseca

Energia contida na interação entre as partículas. A energia de uma partícula depende do potencial na sua posição da sua carga (ou massa).

Como potenciais não são absolutos, é estabelecido um Potencial nulo de referência nas condições de contorno do sistema. Como pode ser visto no gif com as partículas-plano carregadas em azul, são colocadas placas condutoras planas nas posições $x=L$ e $x=-L$ (caso haja simetria no espaço de fase do sistema) e é estabelecido que os potenciais nessas posições são $V(-L)=V(L)=0$.

Uma maneira mais simples de determinar o potencial das N partículas é considerar que há nas posições de contorno, $x_{0}$ e $x_{N+1}$, partículas não interagentes.

A diferença de potencial entre duas posições vizinhas pode ser determinada por:

$\Delta V_{i}=(x_{i}-x_{i-1})E_{i}$

com $E_{i}$ sendo o módulo do campo entre a i-ésima e a (i - 1)-ésima partícula, dado por:

$E_{i}=(2i-N-1)\lambda$

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O que resulta na energia de uma partícula específica (k-ésima) descrita por:

$En_{k}=\alpha \sum _{i=1}^{k}(x_{i}-x_{i-1})(2i-N-1)$

Aqui foram aglutinadas as possíveis constantes multiplicativas em uma constante $\alpha$ que pode ser escolhida para se adequar ao sistema estudado e a energia intrínseca do sistema é dada pela soma da energia de interação de cada uma das partículas. Como o sistema é dividido em intervalos com variação de potencial discretos, podemos escrever a energia intrínseca da seguinte forma:

$En_{int}=\alpha \sum _{k=1}^{N}\sum _{i=1}^{k}(x_{i}-x_{i-1})(2i-N-1)$

A soma dessas três energias deve se manter constante (ou com pouca variação relativa significativa, pelo menos) durante a simulação:

$E_{total}=En_{cin}+En_{pot}+En_{int}=cte.$