Estabilidade

Anterior: Solução via integrais sucessivas | Índice: Ecologia | Próximo: Exemplo: equação diferencial com retardo

Antes de tudo, é interessante citar algumas ferramentas normalmente usadas para investigar a estabilidade de sistemas com atraso temporais : teoria de Razumikhin, aproximação com a função de Lambert, Teoria de Lyapunov-Krasovskii e considerações de autovalores para sistemas lineares.

Começando então com algumas definições de estabilidade, considerando o seguinte problema:

$$\begin{array}{rlr}\dot{x}\left(t\right)& =f(t,x_t)& t\ge t_0\\ x\left(t\right)& =x_0& t=t_0\\ x\left(t\right)& =\phi \left(t\right)& t_0-{\tau }_{max}\le t<t_0\end{array}$$

Então algumas definições:

• Definição: Uma função constante ${\varphi }_e$ é chamada de estado de equilíbrio se $f(t,{\varphi }_e)=0$ para todo $t>t_0$. Ainda que tenha mais de um estado de equilíbrio, a análise de qualquer ponto pode ser reduzida a uma analise do equilíbrio zero.
• Definição:O estado de equilíbrio ${\varphi }_e=0$ é estável no sentido de Lyapunov se para quaisquer números positivos $t_0$ e $\epsilon$ existe um $\delta (\epsilon ,t_0)$ em que cada solução contínua do sistema que satisfaça:

$$\begin{array}{rlr}max\left|x\left(t\right)\right|\le \delta (\epsilon ,t_0)& & t_0\le t\le t_0+{\tau }_{max}\end{array}$$

Também satisfaça:

$$\begin{array}{rlr}max\left|x\left(t\right)\right|\le \epsilon & & t_0\le t\le \mathrm{\infty }\end{array}$$

• Definição: O estado de equilíbrio ${\varphi }_e=0$ é assintoticamente estável se toda solução contínua também satisfaz $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }x\left(t\right)\to 0$.

Nas definições acima o número $\delta$ depende de $t_0$e $\epsilon$. Se $\delta >0$ pode ser encontrado independente de $t_0$ a solução ${\varphi }_e$ é chamada de uniformemente e assintoticamente estável.

Autovalores

O método explorado aqui será utilizando considerações de autovalores. Um caso especial de equação diferencial com atraso é dado por:

$$\dot{x}\left(t\right)=A_{0}x\left(t\right)+\sum _{i=1}^k{A}_{i}x(t-{\tau }_i)+\underset{-h}{\overset{0}{\int }}{A}_{01}\left(\mathrm{\Theta }\right)x(t+\mathrm{\Theta })d\mathrm{\Theta }$$

Onde os elementos da matriz $A_{01}\left(\mathrm{\Theta }\right)$ são contínuos e finitos. Então a equação característica é dada por:

$$\det \left[\mathrm{\Delta }\left(s\right)\right]=\det [sI-A_0-\sum _{i=1}^k{A}_i{e}^{-s{\tau }_i}-\underset{-h}{\overset{0}{\int }}{A}_{01}{e}^{s\mathrm{\Theta }}d\mathrm{\Theta }]$$

Sendo $Re\left(s\right)$ a parte real de $s$, o sistema é assintoticamente e uniformemente estável se:

$$Re\left(s\right)<0$$

Para todo $s\in \mathbb{ℂ}$ que satisfaça $\det \left[\mathrm{\Delta }\left(s\right)\right]=0$.

Principais materiais utilizados:

• Stability and stabilization of time-delay systems (Gerhard Manfred Schoen, Instituto Federal de Tecnologia de Zurique)

Anterior: Solução via integrais sucessivas | Índice: Ecologia | Próximo: Exemplo: equação diferencial com retardo