Conceitos importantes:
Experimento aleatório: experiência cujo resultado não é conhecido com certeza;
Espaço amostral
: conjunto formado por todos os possíveis resultados um experimento aleatório;
Eventos: subconjuntos do espaço amostral;
Espaço equiprovável: espaço em que todos os pontos amostrais tem a mesma chance de ocorrer;
Probabilidade de ocorrer um evento:
![{\displaystyle P\left(A\right)={\frac {N\left(A\right)}{N\left(\Omega \right)}}={\frac {\text{numero de resultados do evento A}}{\text{número de resultados exclusivos e igualmente possíveis}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eded7d60259b773779764712a2d15548fdbeac7)
![{\displaystyle P\left(A\right)={\frac {r}{n}}={\frac {\text{r vezes ocorreu o evento A}}{\text{experimento executado n vezes}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82ce8d5791ff074d48302829ddcb92330a5ab3a9)
Definição axiomática:
![{\textstyle 0\leq P\left(A\right)\leq 1,\forall A\in \Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de7cdfb166769de1a21ed94fd1e94f924f809ec5)
![{\textstyle P\left(\Omega \right)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b50cfd989d86c58f614025d4567b42aeeb30bbd9)
Se
são eventos mutuamente exclusivos, então: ![{\textstyle P\left(\cup _{i=1}^{n}A\right)=\sum _{i=1}^{n}P\left(A\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4acf0505ee67c981c18a3feb778ca3030c6d430)
Eventos exclusivos:
:
União dos eventos (A ou B):
![{\displaystyle P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3a74e208b229f4dd2aff0432da72b00dea6aaa4)
- Probabilidade condicional (probabilidade de ocorrer A, se ocorrer B):
![{\displaystyle P\left(A|B\right)={\frac {P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6094a034bca0f1c0f0d6c5689000da3cdd81cf4)
Para eventos independentes:
![{\displaystyle P\left(A|B\right)=P\left(A\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08fe571c060641ba441b5d5ee318ef1e9ccc54a7)
Então para eventos independentes temos que a probabilidade de ocorrer o evento A e B é:
![{\displaystyle P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)P\left(B\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47cf41c75e3145d92421e465871e64a59d986393)
Mas para um caso mais geral:
![{\displaystyle P\left(A\cap B\right)=P\left(A|B\right)P\left(B\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3042fa95ffbf6535bf11b71b646208311cd032a)
Ou seja a probabilidade de ocorrer os dois é a probabilidade de ocorrer o evento B (
) multiplicado pela probabilidade de ocorrer o evento A se ocorrer o evento B
, ou o contrário. Como exemplo vamos analisar duas formas de encarar a probabilidade de uma presa morrer, para isso vamos definir algumas coisas:
- Os animais podem ser extintos por predação
e outros fatores naturais
(falta de alimento, idade, etc);
- Os parâmetros são definidos em
;
- Será utilizada a interpretação à priori:
, no evento
a presa é extinta por outros fatores naturais e
sobrevive.
, onde
a presa é predada e
sobrevive.
O primeiro caso é computando a probabilidade total da presa ser extinta como
. Ou seja é como se cada presa tem 40% de chance no total de ser extinta, onde desses 40%, 20% é devido a predação e 20% por outros fatores naturais. A probabilidade então de ser extinta, considerando que é dada pela união dos conjuntos que dizem respeito a ser predada
e ser extinta por fatores naturais
é:
![{\displaystyle P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80e489a0e729311765a4d876ad105971a095c208)
Temos
. Então se ocorreu
, não pode ocorrer
,
, ou vice-versa, são eventos mutuamente exclusivos. Ou seja, as combinações possíveis onde não ocorre extinção é:
![{\displaystyle \Omega _{ss}=\left\{{\begin{array}{cccc}-&s_{0}s_{1}&s_{0}s_{2}&s_{0}s_{3}\\s_{1}s_{0}&-&s_{1}s_{2}&s_{1}s_{3}\\s_{2}s_{0}&s_{2}s_{1}&-&s_{2}s_{3}\\s_{3}s_{0}&s_{3}s_{1}&s_{3}s_{2}&-\end{array}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/368f69bc74e43b24e15d53093951a716e0bfe057)
Lembrando não podemos repetir os eventos, nem de extinção, nem de sobrevivência. Se retirarmos a extinção no primeiro evento não podemos retirar no segundo, por exemplo
ou ,
, então o espaço amostral total é:
![{\displaystyle \Omega =\Omega _{ss}\cup \Omega _{es}\cup \Omega _{se}=\left\{{\begin{array}{ccccc}-&es_{0}&es_{1}&es_{2}&es_{3}\\s_{0}e&-&s_{0}s_{1}&s_{0}s_{2}&s_{0}s_{3}\\s_{1}e&s_{1}s_{0}&-&s_{1}s_{2}&s_{1}s_{3}\\s_{2}e&s_{2}s_{0}&s_{2}s_{1}&-&s_{2}s_{3}\\s_{3}e&s_{3}s_{0}&s_{3}s_{1}&s_{3}s_{2}&-\end{array}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47c5c055c389eb91b7b944153447bc8144b23ebd)
A probabilidade de ocorrer extinção é
. Outra forma de computar a probabilidade total de uma presa ser extinta, é tratar a probabilidade de ser extinta por causas naturais (
), e a probabilidade de ser predada a cada encontro com predador (
) como eventos independentes. Portanto a probabilidade total da presa ser extinta neste cenário é
. Isto é:
![{\displaystyle \Omega =\Omega _{e}\cup \Omega _{e}=\left\{{\begin{array}{ccccc}ee&es_{0}&es_{1}&es_{2}&es_{3}\\s_{0}e&s_{0}s_{0}&s_{0}s_{1}&s_{0}s_{2}&s_{0}s_{3}\\s_{1}e&s_{1}s_{0}&s_{1}s_{1}&s_{1}s_{2}&s_{1}s_{3}\\s_{2}e&s_{2}s_{0}&s_{2}s_{1}&s_{2}s_{2}&s_{2}s_{3}\\s_{3}e&s_{3}s_{0}&s_{3}s_{1}&s_{3}s_{2}&s_{3}s_{3}\end{array}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a68959d7c924c98380565e3cd9a1f3b94a15c94f)
Agora a probabilidade é
. Que é o mesmo resultado se fazemos
Principais materiais utilizados
- Introdução à Teoria das Probabilidades (Victor Hugo Lachos Davila, UNICAMP)