Grupo: Arthur Dornelles, Bruno Zanette, Gabriel De David, Guilherme Hoss
O objetivo deste trabalho é resolver computacionalmente a equação de Cahn-Hilliard, que descreve o processo de decomposição spinodal de uma mistura binária, utilizando o método FTCS (Forward Time Centered Space).
Decomposição Espinodal
Decomposição espinodal é o nome dado ao processo no qual uma pequena perturbação de um sistema faz com que, uma fase homogênea termodinamicamente instável, diminua sua energia e separe-se espontaneamente em duas outras fases coexistentes, esse é um processo que ocorre sem nucleação, ou seja, é instantâneo. Ela é observada, por exemplo, em misturas de metais ou polímeros e pode ser modelada pela equação de Cahn-Hilliard.
A Equação de Cahn-Hilliard
A equação de Cahn-Hilliard descreve o processo de decomposição espinodal de uma mistura binária.
Em outras palavras, é uma equação que descreve o processo de separação de fase entre dois componentes de um fluido binário que se separam de maneira espontânea.
Consideraremos - de início - uma mistura binária de dois componentes A e B descritas pelas concentrações dos fluidos
e
, respectivamente.
Além disso, podemos considerar que - para uma mistura binária -
e portanto podemos simplificar para apenas uma concentração
:
![{\displaystyle c_{a}(x,t)=c(x,t),c_{b}(x,t)=1-c(x,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a50c3ba37c95a22c85435ac96db12965cb7021bd)
Tendo isso em vista, podemos agora utilizar a primeira lei de Fick da difusão:
![{\displaystyle J=-D\nabla c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b04f53470dc4e5ea6c44e1518db9f93e4153db4f)
juntamente da equação da continuidade:
![{\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {J}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efaf5c4fe7a3af1434698151a5995fd1e98d5f86)
Onde
é o coeficiente de difusão e
é o fluxo de difusão. Em seguida, ao combinarmos ambas as equações anteriores o resultado gera a segunda lei de Fick da difusão:
![{\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=D{\nabla }^{2}c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1c400aabf7d698049eff1ee67c76d61c491127e)
Por definição, verificou-se que a concentração não poderia ser a razão da difusão, portanto outra força estaria presente. E, nesse caso, encontrou-se que a principal força responsável pela difusão negativa é o potencial químico. Portanto, outra equação pode ser derivada para generalizar a primeira lei de Fick:
![{\displaystyle J=-M\nabla \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4f84efb4fafd1a25779fd37fec038eb86a12783)
Onde
é a mobilidade das partículas (análoga à D) e
é o potencial químico.
Com essa nova equação podemos agora também deduzir uma nova equação para a segunda lei de Fick:
![{\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=M{\nabla }^{2}\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e253b486b989320736621db79b05b8720230692)
Essa equação também é conhecida como equação de Cahn-Hilliard.
Nessa equação, podemos usar a definição do potencial químico através da densidade da energia livre de Gibbs como:
![{\displaystyle \mu ={\frac {\partial g}{\partial c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c63aa976beb3151039ad81226261b100abdf99bc)
Onde
é a densidade da energia livre de Gibbs e
é a concentração.
Tendo em vista a substituição do termo
por um termo que envolva a concentração dos fluidos, utiliza-se uma equação que descreve a densidade de energia desse sistema através da concentração dos mesmos:
![{\displaystyle G=\int _{V}^{}f(c)+{\kappa |\nabla c|}^{2}dV}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eb5fe51b80921b4ae41d2857f8c9a33a3bc1f55)
Nesse caso,
é a energia livre de Gibbs,
é a densidade de energia livre devido à contribuições de ambas as fases homogêneas e
é a densidade de energia livre devido ao gradiente de concentração na interface (ou energia de interface).
Além disso, a função
tem o formato de um poço de potencial duplo, que pode ser representado pela seguinte equação:
![{\displaystyle f(c)={\frac {(c^{2}-1)^{2}}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c295feb94c5a4ead98e6d6a1315ac33d184d928)
Levando essas informações em conta e - utilizando um parâmetro
análogo à largura da interface - que é descrito por
é possível encontrar uma equação que descreve a densidade de energia livre de Gibbs para um sistema duplo-fásico:
![{\displaystyle g(c)=f(c)+{\gamma }^{2}{|\nabla c|}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/549f28ade6a85cc866a0ffdd840b7fa87a4174f0)
Com essas igualdades agora se torna possível o cálculo de
em função da concentração dos fluidos:
![{\displaystyle \mu ={\frac {\partial g}{\partial c}}={\frac {\partial f(c)}{\partial c}}+{\frac {\partial {(\gamma }^{2}{|\nabla c|}^{2})}{\partial c}}={\frac {\partial ({\frac {(c^{2}-1)^{2}}{4}})}{\partial c}}+{\gamma }^{2}{\nabla }^{2}c=c^{3}-c+{\gamma }^{2}{\nabla }^{2}c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6524d6f1e298ca1c643f06673802ed5b2e6045aa)
Finalmente - utilizando a última expressão encontrada - torna-se possível reescrever o potencial químico em função da mobilidade de suas partículas (
) e a concetração do fluido:
![{\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=M{\nabla }^{2}(c^{3}-c-\gamma {\nabla }^{2}c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/907b1600f04cb06fb400989df480b0ecb64ee809)
Essa equação final é chamada de equação de Cahn-Hilliard.
Método FTCS (Forward Time Centered Space)
O FTCS é um método numérico utilizado para resolver equações diferenciais parciais, tais como a difusão do calor e do transporte de massa, traduzindo, significa "Progressivo no tempo, avançado no espaço". Esse método pode ser utilizado em sua forma implícita ou explícita que estão descritas abaixo.
![{\displaystyle n\to \Delta t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/137117b30ba27e25dc88e364863ae89860960f8c)
![{\displaystyle j\to \Delta x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f49d936e2499a46661ba53676c26dfda203e75a6)
FTCS Explicito
![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}\to {\frac {f_{j}^{n+1}-f_{j}^{n}}{\Delta t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/980de14257bc6f14716aea097ea0fc81b8c3cdb6)
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\to {\frac {f_{j-1}^{n}-2f_{j}^{n}+f_{j+1}^{n}}{\Delta x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03c9e5ec39f9b9ec94cdff887723311796f982a6)
Para difusão:
![{\displaystyle f_{j}^{n+1}=f_{j}^{n}+{\frac {D\Delta t}{(\Delta x)^{2}}}(f_{j-1}^{n}-2f_{j}^{n}+f_{j+1}^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3af83533316feba07cb2857581d588077ed8b9c8)
FTCS Implicito (BTCS)
![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}\to {\frac {f_{j}^{n}-f_{j}^{n-1}}{\Delta t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28f904a89ce606189e7787d16130405a706e5fe0)
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\to {\frac {f_{j-1}^{n}-2f_{j}^{n}+f_{j+1}^{n}}{\Delta x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03c9e5ec39f9b9ec94cdff887723311796f982a6)
Para difusão:
![{\displaystyle f_{j}^{n+1}=f_{j}^{n}+{\frac {D\Delta t}{(\Delta x)^{2}}}(f_{j-1}^{n+1}-2f_{j}^{n+1}+f_{j+1}^{n+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb1f84c54eac711f3126e49be15704d70636de00)
Resolução do Cahn-Hilliard Equation para FTCS explicito para x somente:
![{\displaystyle \displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=D\nabla ^{2}(c^{3}-c-\gamma ^{2}\nabla ^{2}c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d11e5a5eee449504f73f6d63cb116544b49f6637)
![{\displaystyle \displaystyle {\frac {c_{j}^{n+1}-c_{j}^{n}}{\Delta t}}=D\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(c^{3}-c-\gamma ^{2}\displaystyle {\frac {\partial ^{2}c}{\partial x^{2}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da83317f31489cc0fa21aa43b3f5fdac9ffe2bf)
![{\displaystyle \displaystyle {\frac {c_{j}^{n+1}-c_{j}^{n}}{\Delta t}}=D{\frac {u_{j-1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j+1}^{n}}{(\Delta x)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89bc16365acda91e1bbe96e36e58b014937e5e92)
![{\displaystyle \displaystyle {\frac {c_{j}^{n+1}-c_{j}^{n}}{\Delta t}}=D\left({\frac {(c_{j-1}^{n})^{3}-2(c_{j}^{n})^{3}+(c_{j+1}^{n})^{3}}{(\Delta x)^{2}}}-{\frac {c_{j-1}^{n}-2c_{i}^{n}+c_{j+1}^{n}}{(\Delta x)^{2}}}-\gamma ^{2}{\frac {c_{j-2}^{n}-4c_{j-1}^{n}+6c_{j}^{n}-4c_{j+1}^{n}+c_{j+2}^{n}}{(\Delta x)^{4}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32fd75cbff19c5febac51acda35fc6f9e37dcf62)
![{\displaystyle c_{j}^{n+1}=D\Delta t\left({\frac {(c_{j-1}^{n})^{3}-2(c_{i}^{n})^{3}+(c_{j+1}^{n})^{3}}{(\Delta x)^{2}}}-{\frac {c_{j-1}^{n}-2c_{j}^{n}+c_{j+1}^{n}}{(\Delta x)^{2}}}-\gamma ^{2}{\frac {c_{j-2}^{n}-4c_{j-1}^{n}+6c_{j}^{n}-4c_{j+1}^{n}+c_{j+2}^{n}}{(\Delta x)^{4}}}\right)+c_{j}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0369d5b19803cb8abfe8b523fe37e2deb51a6601)
![{\displaystyle c_{j}^{n+1}={\frac {D\Delta t}{(\Delta x)^{2}}}\left((c_{j-1}^{n})^{3}-2(c_{i}^{n})^{3}+(c_{j+1}^{n})^{3}-{c_{j-1}^{n}+2c_{j}^{n}-c_{j+1}^{n}}-\gamma ^{2}{\frac {c_{j-2}^{n}-4c_{j-1}^{n}+6c_{j}^{n}-4c_{j+1}^{n}+c_{j+2}^{n}}{(\Delta x)^{2}}}\right)+c_{j}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07fd1236fb13ab8bf57eb9ef126ce0fb88313718)
Condição de Estabilidade
![{\displaystyle \Delta t<\displaystyle {\frac {(\Delta x)^{2}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d5e39c33ae8671d965a913d5d86ba74e0349359)
Referências
- SIBBING, Zimo. Numerical methods for the implentation of the Cahn-Hilliard equation in one dimension and a dynamic boundary condition in two dimensions, 2015.
- MARKUS, Wilczek. The Cahn-Hilliard Equation, 2015.
- https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Fick
- https://en.wikipedia.org/wiki/Spinodal_decomposition
- https://pt.qaz.wiki/wiki/Cahn%E2%80%93Hilliard_equation