Equação de Cahn-Hilliard

Grupo: Arthur Dornelles, Bruno Zanette, Gabriel De David, Guilherme Hoss

O objetivo deste trabalho é resolver computacionalmente a equação de Cahn-Hilliard, que descreve o processo de decomposição spinodal de uma mistura binária, utilizando o método FTCS (Forward Time Centered Space).

Decomposição Espinodal

Decomposição espinodal é o nome dado ao processo no qual uma pequena perturbação de um sistema faz com que, uma fase homogênea termodinamicamente instável, diminua sua energia e separe-se espontaneamente em duas outras fases coexistentes, esse é um processo que ocorre sem nucleação, ou seja, é instantâneo. Ela é observada, por exemplo, em misturas de metais ou polímeros e pode ser modelada pela equação de Cahn-Hilliard.

A Equação de Cahn-Hilliard

A equação de Cahn-Hilliard descreve o processo de decomposição espinodal de uma mistura binária. Em outras palavras, é uma equação que descreve o processo de separação de fase entre dois componentes de um fluido binário que se separam de maneira espontânea.

Consideraremos - de início - uma mistura binária de dois componentes A e B descritas pelas concentrações dos fluidos $c_a(x,t)$ e $c_b(x,t)$, respectivamente.

Além disso, podemos considerar que - para uma mistura binária - $c_a(x,t)+c_b(x,t)=1$ e portanto podemos simplificar para apenas uma concentração $c(x,t)$:

$c_a(x,t)=c(x,t),c_b(x,t)=1-c(x,t)$

Tendo isso em vista, podemos agora utilizar a primeira lei de Fick da difusão:

$J=-D\mathrm{\nabla }c$

juntamente da equação da continuidade:

$\frac{\partial c}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{J}=0$

Onde $D$ é o coeficiente de difusão e $\overrightarrow{J}$ é o fluxo de difusão. Em seguida, ao combinarmos ambas as equações anteriores o resultado gera a segunda lei de Fick da difusão:

$\frac{\partial c}{\partial t}=D{\mathrm{\nabla }}^{2}c$

Por definição, verificou-se que a concentração não poderia ser a razão da difusão, portanto outra força estaria presente. E, nesse caso, encontrou-se que a principal força responsável pela difusão negativa é o potencial químico. Portanto, outra equação pode ser derivada para generalizar a primeira lei de Fick:

$J=-M\mathrm{\nabla }\mu$

Onde $M$ é a mobilidade das partículas (análoga à D) e $\mu$ é o potencial químico. Com essa nova equação podemos agora também deduzir uma nova equação para a segunda lei de Fick:

$\frac{\partial c}{\partial t}=M{\mathrm{\nabla }}^2\mu$

Essa equação também é conhecida como equação de Cahn-Hilliard

Nessa equação, podemos usar a definição do potencial químico através da densidade de energia livre de Gibbs como:

$\mu =\frac{\partial g}{\partial c}$

Onde $g$ é a densidade de energia livre de Gibbs e $c$ é a concentração.

Tendo em vista a substituição do termo $\mu$ por um termo que envolve a concentração dos fluidos, utiliza-se uma equação que descreve a densidade de energia desse sistema através da concentração dos mesmos:

$F=\underset{V}{\overset{}{\int }}f(c)+{\kappa |\mathrm{\nabla }c|}^{2}dV$

Nesse caso, $F$ é a energia livre de Gibbs, $f(c)$ é a densidade de energia livre devido à contribuições de ambas as fases homogêneas e ${\kappa |\mathrm{\nabla }c|}^2$ é a densidade de energia livre devido ao gradiente de concentração na interface (ou energia de interface).

Além disso, a função $f(c)$ tem o formato de um poço de potencial duplo, que pode ser representado pela seguinte equação:

$f(c)=\frac{(c^2-1{)}^2}{4}$

Levando essas informações em conta e - utilizando um parâmetro $ϵ$ análogo à largura da interface - que é descrito por $\kappa ={ϵ}^2$ é possível encontrar uma equação que descreve na densidade de energia lvire de Gibbs para um sistema duplo-fásico:

$g(c)=f(c)+{ϵ}^2{|\mathrm{\nabla }c|}^2$

Método FTCS (Forward Time Centered Space)

O FTCS é um método numérico utilizado para resolver equações diferenciais parciais, tais como a difusão do calor e do transporte de massa, traduzindo, significa "Progressivo no tempo, avançado no espaço". Esse método pode ser utilizado em sua forma implícita ou explícita que estão descritas abaixo.

$n\to \mathrm{\Delta }t$

$j\to \mathrm{\Delta }x$

FTCS Explicito

$\frac{\partial f}{\partial t}\to \frac{f_j^{n+1}-f_j^n}{\mathrm{\Delta }t}$

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}\to \frac{f_{j-1}^n-2f_j^n+f_{j+1}^n}{\mathrm{\Delta }{x}^2}$

Para difusão:

$f_j^{n+1}=f_j^n+\frac{D\mathrm{\Delta }t}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}(f_{j-1}^n-2f_j^n+f_{j+1}^n)$

FTCS Implicito (BTCS)

$\frac{\partial f}{\partial t}\to \frac{f_j^n-f_j^{n-1}}{\mathrm{\Delta }t}$

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}\to \frac{f_{j-1}^n-2f_j^n+f_{j+1}^n}{\mathrm{\Delta }{x}^2}$

Para difusão:

$f_j^{n+1}=f_j^n+\frac{D\mathrm{\Delta }t}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}(f_{j-1}^{n+1}-2f_j^{n+1}+f_{j+1}^{n+1})$

Resolução do Cahn-Hilliard Equation para FTCS explicito para x somente:

$\frac{\partial c}{\partial t}=D{\mathrm{\nabla }}^2(c^3-c-{\gamma }^2{\mathrm{\nabla }}^{2}c)$

$\frac{c_j^{n+1}-c_j^n}{\mathrm{\Delta }t}=D\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}(c^3-c-{\gamma }^2\frac{{\partial }^{2}c}{\partial x^2})$

$\frac{c_j^{n+1}-c_j^n}{\mathrm{\Delta }t}=D\frac{u_{j-1}^n-2u_j^n+u_{j+1}^n}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}$

$\frac{c_j^{n+1}-c_j^n}{\mathrm{\Delta }t}=D(\frac{(c_{j-1}^n{)}^3-2(c_j^n{)}^3+(c_{j+1}^n{)}^3}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}-\frac{c_{j-1}^n-2c_i^n+c_{j+1}^n}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}-{\gamma }^2\frac{c_{j-2}^n-4c_{j-1}^n+6c_j^n-4c_{j+1}^n+c_{j+2}^n}{(\mathrm{\Delta }x{)}^4})$

$c_j^{n+1}=D\mathrm{\Delta }t(\frac{(c_{j-1}^n{)}^3-2(c_i^n{)}^3+(c_{j+1}^n{)}^3}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}-\frac{c_{j-1}^n-2c_j^n+c_{j+1}^n}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}-{\gamma }^2\frac{c_{j-2}^n-4c_{j-1}^n+6c_j^n-4c_{j+1}^n+c_{j+2}^n}{(\mathrm{\Delta }x{)}^4})+c_j^n$

$c_j^{n+1}=\frac{D\mathrm{\Delta }t}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}((c_{j-1}^n{)}^3-2(c_i^n{)}^3+(c_{j+1}^n{)}^3-c_{j-1}^n+2c_j^n-c_{j+1}^n-{\gamma }^2\frac{c_{j-2}^n-4c_{j-1}^n+6c_j^n-4c_{j+1}^n+c_{j+2}^n}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2})+c_j^n$

Condição de Estabilidade

$\mathrm{\Delta }t<\frac{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}{2}$