Modelo de Keller-Segel para relação população-economia

Grupo: Leonardo Barcelos, Luana Bianchi e Rubens Borrasca

O objetivo deste trabalho é implementar o modelo de Keller-Segel, que originalmente descreve chemotaxis: movimento de organismo em direção ou contra algum sinal químico, para um sistema englobando população e atividade econômica. O método computacional utilizado para resolver o problema e implementar o modelo foi o FTCS (Forward Time Centered Space).

Modelo de Keller-Segel

Proposto por Evelyn Fox Keller, física norte-americana, e Lee Aaron Segel, matemático também norte-americano, o modelo de Keller-Segel foi historicamente utilizado para descrever o movimento de bactérias. Introduzido primeiramente em 1970 para descrever a agregação de uma espécie de bolor limoso (ou slime mold) ameboide, Dictyostelium discoideum, o modelo se tornou um dos mais usados nos estudos biológicos-matemáticos. As células deste slime mold se comportam como amoebas individuais, e se alimentam de bactérias, mas quando a quantidade de comida fica pequena, elas se difundem pelo espaço e então se agregam em formato mais alongado, como o formato das lesmas, para uma migração de longa distância. Keller e Segel desenvolveram um modelo matemático para o processo de agregação, em que a chemotaxis tem papel crítico na auto-ormanização das células.

Baseados no que já era conhecido sobre esses organismos, Keller e Segel utilizaram as seguintes premissas:

• As células estão inicialmente distribuídas sobre o espaço de maneira mais ou menos homogênea, com algumas flutuações aleatótias;
• As células apresentam chemotaxis em direção ao sinal químico denominado cAMP (cyclic adenosine monophosphate);
• As células produzem moléculas cAMP;
• As células e as moléculas cAMP difundem pelo espaço;
• As células não morrem e não se dividem

De forma simplificada, ocultando alguns detalhes biológicos mais complicados a equação de Keller-Segel é a seguinte:

${\frac {\partial a}{\partial t}}=\mu \nabla ^{2}a-\chi \nabla \cdot (a\nabla c)$

${\frac {\partial c}{\partial t}}=D\nabla ^{2}c+fa-kc$

em que $a$ e $c$ são respectivamente as variáveis de estado para a concentração de células e a concentração de cMAP. $\mu$ é o parâmetro de mobilidade das células, $\chi$ é o parâmetro da chemotaxis celular, $D$ é a constante de difusão das moléculas cAMP, $f$ é a taxa de secreção de cMAP pelas células, e $k$ é a taxa de decaimento das moléculas cMAP.

Aplicação população-economia

De forma parecida com as premissas de Keller e Segel, os seguintes pontos são assumidos para modelar a relação entre a população e a atividade econômica:

• A população não cresce e não decresce ao longo do tempo;
• A economia é ativada por existir mais pessoas em uma região;
• Sem pessoas a atividade econômica diminui;
• População e atividade econômica difundem gradualmente;
• As pessoas são atraídas por regiões com maior atividade econômica

Traduzindo estes pontos em equações matemáticas, se obtêm as seguintes equações:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial p}{\partial t} = D_p \nabla^2 p - \gamma \nabla \cdot (p \nabla m) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial m}{\partial t} = D_m \nabla^2 m + \alpha p - \beta m }

em que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} representa a população e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} a atividade econômica. Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} é a constante que determina a taxa de produção de atividade econômica per capita, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta} é a constante da taxa de decaimento da atividade econômica, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_p} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_m} são as constantes de difusão da população e da economia respectivamente, e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma} é a constante que afeta a velocidade média do movimento da população.

Comparando o sistema obtido com o problema original de Keller-Segel, percebe-se que se trocarmos células por pessoas e cMAP por atividade econômica os problemas ficam iguais, e até se poderia denominar como moneytaxis a migração das pessoas em direção a atividade econômica, como a chemotaxis descreve o movimento das células em direção ao cAMP.

Resultados

1D

Com o intuito de testar melhor a equação e suas consequências, os resultados foram divididos em várias simulações diferentes.

População e Dinheiro em pontos separados

Para esta simulação, considera-se que no tempo 0, toda a população está concentrada em 1 ponto, enquanto todo o dinheiro está em um outro ponto distante.

Os parâmetros utilizados foram:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dx = 1 }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dt = 0.3 }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_m = 1 }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_p = 1 }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma = 1 }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha = 1 }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta = 1 }

Resultados da simulação para o caso de população e dinheiro em pontos separads e distantes na malha

Na figura acima, consegue-se observar o resultado da construção do sistema desta maneira.

Com toda a população concentrada em 1 ponto (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = 20 } ), a atividade econômica cresce consideravelmente neste intervalo ao longo do tempo. Em contrapartida, o local que continha todo o dinheiro no começo da simulação (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = 80 } ), em pouco tempo tem a sua renda líquida migrada para onde tem uma densidade populacional maior. Essa tendência indica, portanto, que o sistema é construído de tal forma que a atração da população por regiões de alta renda líquida é menor que a atração do sistema monetário de seguir para pontos de alta densidade populacional.

Além disso, outra observação interessante é que nota-se para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t \rightarrow \infty} uma tendência inerente da densidade populacional em seguir uma distribuição de shape gaussiano sob a malha. Considerando que a equação que define o movimento populacional com o tempo contém um termo difusivo, e que a solução para uma difusão simples em 1 dimensão também assume um shape gaussiano, este resultado faz sentido. Mas uma coisa interessante é que, depois de se desfazer de seu formato inicial, o total de dinheiro sob a malha tende a seguir a distribuição populacional, porém com um desvio padrão maior (maior abertura na Gaussiana). Essa observação indica que, para centros econômicos (regiões com alto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m } ) a tendência é que suas periferias também possuam valores altos de renda, apesar da população consideravelmente menor. Além disso, para regiões fora do contorno de centros econômicos (distância maior do que 3 vezes o desvio padrão da gaussiana) a atividade econômica é basicamente nula, assim como a densidade populacional. Este último fato descreve de forma genérica e simplista o comportamento atual observado em metrópoles nos dias de hoje: uma cidade grande possui alto número de habitantes, alta renda, seus contornos também apresentam atividade econômica forte (porém menor que o centro), mas para um raio suficientemente grande, tanto dinheiro quanto população caem exponencialmente.

Referências

Sayama

Scherrer

[1]