Modelo de Turing

EM CONSTRUÇÃO

Equação de Turing

Simulações computacionais que envolvem equações diferenciais parciais (EDP's) são usualmente modeladas através da discretização das variáveis espaciais e temporais. Algumas dessas equações descrevem comportamentos difusivos no sistema, sendo chamadas de equações de difusão. Tais equações envolvem variáveis de estado que apresentam variações temporal e espacial e coeficientes de difusão no sistema, além de outros parâmetros que influenciam na evolução dos estados. Dentro desse ramo de equações, encontra-se o Modelo de Turing, desenvolvido por Alan Turing, que utiliza como base a concentração de espécies em um sistema, avaliando sua reação, difusão e variação espacial e temporal. São muitas as aplicações do modelo, principalmente em ramos como biologia e química, envolvendo problemas com formação de padrões. A seguir, descrevemos sua formulação matemática.

Sejam $u$ e $v$ as concentrações das espécies que serão analisadas. Sejam $a,b,c$ e $d$ parâmetros e $h$ e $k$ constantes. Os coeficientes de difusão são $D_u$ e $D_v$, cada um associado a uma das concentrações. O Modelo de Turing é dado pelas EDP's

$\frac{\partial u}{\partial t}=a(u-h)+b(v-k)+D_u{\mathrm{\nabla }}^{2}u$

$\frac{\partial v}{\partial t}=c(u-h)+d(v-k)+D_v{\mathrm{\nabla }}^{2}v$

Note que certa parte de cada equação depende apenas dos parâmetros e das concentrações. Podemos, portanto, utilizar funções de variáveis $u$ e $v$ para descrever o sistema, de modo que

$u_t=D_u{\mathrm{\nabla }}^{2}u+f(u,v)$

$v_t=D_v{\mathrm{\nabla }}^{2}v+g(u,v)$

Estabilidade e instabilidade no modelo de Turing

Já vimos que o modelo de Turing depende de parâmetros $a,b,c,d$, de constantes $h$ e $k$ e dos coeficientes de difusão.

Afirmação: Se $D_u=D_v=0$, temos ($v_{eq},u_{eq})=(h,k)$ como o único ponto de equilíbrio.

Demonstração: Mostraremos que $(h,k)$ é ponto de equilíbrio. De fato, ao aplicarmos esse ponto na equação do modelo de Turing, temos $u_t{|}_{u=k}=0=v_t{|}_{v=h}$. Para mostrar que é único, suponha que existem dois pontos de equilíbrio, a saber, $(v_1,u_1)$ e $(v_2,u_2)$. Vemos que, como as equações diferenciais em cada ponto fixo são iguais a zero, temos $a(u_1-u_2)+b(v_1-v_2)=0$ e $c(u_1-u_2)+d(v1-v_2)$. Consequentemente, devemos ter $(\frac{-ad}{c}+b)(v_1-v_2)=0⟹v_1=v_2$. Do mesmo modo, $u_1=u_2$. Portanto, o ponto de equilíbrio é único nessas circunstâncias.