Grupo - Ising 2D

Grupo: Ânderson Rosa, Caetano Pires e Lucas Doria.

sepa falar algo aqui tb

Introdução

-talvez falar sobre materiais ferromagnéticos;

-falar sobre os conceitos de mec estatística necessários?;

-falar sobre o sistema de spins (geometricamente)?;

Sobre Mecânica Estatística:

Considera-se um sistema governado por um Hamiltoniano em contato com um reservatório térmico com temperatura $T$ constante. O reservatório térmico, considerada uma pequena perturbação no sistema, troca energia com o sistema Hamiltoniano fazendo-o visitar diversos níveis de energia enquanto tende à temperatura do $T$.

Uma forma de tratar essa interação é dando ao sistema uma dinâmica que o fará visitar diversos estados diferentes. Ou seja, a partir de uma dinâmica, o sistema pode passar de um estado $\mu$ para outro estado $\nu$ com uma probabilidade $P(\mu ->\nu )$, conhecida como taxa de transmissão. Também consideramos o peso $w_{\mu }(t)$, que é a probabilidade de o estado se encontrar no estado $\mu$ no tempo $t$. Assim torna-se possível chegar a uma equação mestra capaz de descrever a taxa pela qual o sistema está alcançando um estado $\mu$:

${\frac {dw_{\mu }}{dt}}=\sum _{\nu }[w_{\mu }(t)P(\nu \rightarrow \mu )-w_{\nu }(t)P(\mu \rightarrow \nu )]$

Nosso sistema diz respeito a um corpo macroscópico formada por partes microscópicas, e a dinâmica diz respeito a essas últimas partes. Entretanto, também estamos interessados em características macroscópicas que emergem do micro. Dada uma característica $Q$, que assume o valor $Q_{\mu }$ no estado $\mu$, podemos calcular o valor esperado (esperança) de $Q$ em um tempo $t$:

$<Q>=\sum _{\mu }Q_{\mu }w_{\mu }(t)$

Equilibrio:

Consideramos o estado de equilíbrio do sistema, caracterizado por $dw_{\mu }/dt=0$, ou seja, probabilidade do sistema alcançar um estado $\mu$ é igual à probabilidade de alcançar um estado $\nu$.

Denotamos $p_{\mu }=\lim _{t\rightarrow \inf }w_{\mu }(t)$ como a probabilidade de encontrar $\mu$ no estado de equilíbrio. Sabemos que para um sistema em equilíbrio térmico com o reservatório térmico a uma temperatura $T$ a probabilidade é dada pela distribuição de Boltzmann, como demonstrado por Gibbs (1902):

$p_{\mu }={\frac {1}{Z}}e^{-E{\mu }/kT}$

onde Z é a função partição

$Z=\sum _{\mu }e^{-E{\mu }/kT}$

sendo assim, podemos encontrar a esperança de uma quantidade $Q$ para o sistema em estado de equilíbrio a partir da equação

$<Q>={\frac {1}{Z}}\sum _{\mu }Q_{\mu }e^{-E{\mu }/kT}$

Processos de Markov

O Modelo de Ising

A denominação "modelo de Ising" é utilizada para tratar um sistema de psins de Ising ao qual se acopla uma dinâmica que lhe proporciona relaxamento para um estado de equilíbrio. Esse sistema de spins é descrito por uma dinâmica que possui balanceamento detalhado e que o leva a estados estacionários de equilibrio, descritos pela distribuição de Gibbs relacionada à hamiltoniada de Ising.

O modelo de Ising é construido a partir de uma rede de $N$ spins de Ising com interações entre primeiros vizinhos. Os spins de Ising apontam apenas na direção $+z$ ou $-z$. Assim, o $i$-ésimo spin do sistema pode assumir dois valores, que por conveniência são assumidos $s_{i}=\pm 1.$ Cada um desses "Ising spins" interage com outros spins do sistema.

Em um material magnético real, a interação é maior entre spins mais próximos. Com essa motivação, uma forma de representar a interação entre os spins do sistema é levar em conta a interação apenas entre um spin e seus vizinhos mais próximos da cadeia de spins. A energia de tal sistema pode ser expressa por

$E=-J\sum _{<ij>}s_{i}s_{j}-H\sum _{i}s_{i},\qquad (1)$

onde a soma se dá sobre todos os pares de spins mais próximos entre si, $J$ é a constante de correlação, que assumimos positiva e $H$ é um campo magnético externo que atua sobre os spins.

Uma análise qualitativa da expressão para a energia do microestado acima, inicialmente desconsiderando o campo magnético $H$, já mostra, por exemplo, que se dois spins são paralelos entre si, a energia de interação entre eles é $-J$. Se os spins são antiparalelos, então o produto dentro da soma é negativo, de forma que $E=J.$ Portanto, as interações favorecem um alinhamento paralelo entre spins vizinhos, buscando um estado de menor energia.

Embora a energia do sistema seja menor quando todos os spins são paralelos entre si, é preciso considerar o efeito da temperatura sobre o sistema. No modelo estudado em questão, é considerado que o sistema se encontra em equilíbrio com uma fonte de temperatura $T$, de forma que o comportamento do sistema pode ser estudado a partir do ensemble canônico.[1]

Para um sistema que se encontra em equilíbrio com uma fonte em temperatura $T$, a probabilidade de encontrar o sistema em um estado particular é proporcional ao fator de Boltzmann

$P_{\alpha }\propto e^{-E_{\alpha }/k_{b}T}\qquad (2)$

onde $E_{\alpha }$ é a energia do estado $\alpha$ correspondente e $k_{b}$ a constante de Boltzmann. Cada um desses estados é uma configuração particular do conjunto de spins, chamados microestados do sistema. Portanto, se temos uma cadeia com $N$ Ising spins, o sistema possui $2^{N}$ microestados possíveis. Essa interação do sistema com uma fonte à temperatura $T$ faz com que o sistema passe por transições de um microestado para outro, fazendo com que spins individuais alternem entre +1 e -1 enquanto ganham ou perdem energia devido a fonte.

Uma medida macroscópica do momento magnético total do sistema é chamada de magnetização, e é uma média dos diversos microestados que o sistema visita durante uma medida. O momento magnético de um microestado $M_{\alpha }$ é a soma dos valores dos spins daquele estado em particular. Assim, a magnetização medida é dada por

$M=\sum _{\alpha }M_{\alpha }P_{\alpha },$

Teoria do Campo Médio: Uma abordagem aproximada

O método do campo médio pode ser utilizado para introduzir algumas propriedades de um sistema de spins, assim como uma primeira análise de transições de fase. Porém seus resultados não são quantitativamente exatos, sendo necessária uma abordagem diferente ao problema para fins de resultados melhores (ver seção sobre o método Monte Carlo).

A magnetização do sistema está relacionada ao alinhamento de spin médio $<s_{i}>$. A magnetização total a uma temperatura $T$ para um sistema de $N$ spins é dada por

$M=\sum _{i}<s_{i}>=N<s_{i}>,$

Se adicionarmos um campo magnético ao problema, a função de energia do sistema se torna

$E=-J\sum _{<ij>}s_{i}s_{j}-\mu H\sum _{i}s_{i},$

onde $H$ representa o campo magnético e $\mu$ o momento magnético associado com cada spin. Este campo faz com que os spins tendam a se orientar paralelamente a $H$, visto que isso diminui a energia. Para obter a aproximação de campo médio, consideramos que o sistema é constituído de um único spin $s_{i}$, de tal forma que a única energia envolvida é a energia de campo. As probabilidades de encontrar o sistema de um único spin nos seus dois possíveis estados são dadas por

${\begin{cases}P_{+}=Ce^{+\mu H/k_{b}T},\\P_{-}=Ce^{-\mu H/k_{b}T},\end{cases}}$

onde $C$ é um coeficiente que pode ser determinado tomando a condição de que as duas probabilidades se somem a 1. Portanto,

$C={\frac {1}{e^{+\mu H/k_{b}T}+e^{-\mu H/k_{b}T}}},$

A média de $s_{i}$ pode ser calculada por

$<s_{i}>=\sum _{s_{i}=\pm 1}s_{i}P_{\pm }=P_{+}-P_{-}=\tanh(\mu H/k_{b}T).$

O Método de Monte Carlo

Método de Metropolis

Para o método de Monte Carlo responsável por gerar configurações de acordo com a probabilidade (2), utilizaremos o algoritmo de dinâmica estocástica chamado método de Metropolis. Nesse método, utilizamos um conjunto de probabilidades $g(\mu \rightarrow \nu )$,uma para cada conjunto de transições de estados, e então escolhemos um conjunto de probabilidades de aceitação $A(\mu \rightarrow \nu )$. O algoritmo funcionará escolhendo repetidamente um novo $\nu$ e aceitando ou rejeitando o estado de acordo com nossa probabilidade de aceitação. O algoritmo que iremos descrever utiliza a dinâmica de inversão única de spins, onde apenas um spin será invertido aleatoriamente para termos um novo estado a ser testado. É válido notar que a dinâmica de inversão única de spins não é o que caracteriza do método de Metropolis, pois ainda poderíamos ter esse método ao utilizarmos uma dinâmica com mais spins sendo invertidos simultaneamente. Vamos supor que tenhamos os estados $\mu$ e $\nu$ e que temos a relação de energias: $E_{\mu }<E_{\nu }$. Então, a maior das duas chances de aceitação é $A(\mu \rightarrow \nu )$, portanto iremos igualar essa probabilidade a 1. Utilizando a equação (2), comparamos a razão das probabilidade de transição dos estados:

${\frac {P(\mu \rightarrow \nu )}{P(\nu \rightarrow \mu )}}={\frac {g(\mu \rightarrow \nu )A(\mu \rightarrow \nu )}{g(\nu \rightarrow \mu )A(\nu \rightarrow \mu )}}={\frac {A(\mu \rightarrow \nu )}{A(\nu \rightarrow \mu )}}=e^{-{\frac {\Delta E}{k_{B}T}}}.$

Para que isso seja respeitado, iremos então definir o valor de $A(\mu \rightarrow \nu )$ como $e^{-{\frac {\Delta E}{k_{B}T}}}$. Temos, assim, o algoritmo de Metropolis:

$A(\mu \rightarrow \nu )={\begin{cases}e^{-{\frac {\Delta E}{k_{B}T}}},\qquad {\text{se }}\Delta E>0\\\\1,\qquad \qquad {\text{caso contrario}}.\end{cases}}$

Dessa forma, sempre que tivermos um estado cuja energia seja menor do que a do estado atual, iremos aceitar a transição, mas se a energia for maior, teremos uma pequena probabilidade de trocarmos de estado.

Implementação

Para a implementação do método, utilizaremos uma matriz $L\times L$ com condições de contorno periódicos, i.e., faremos com que os vizinhos de uma fronteira da matriz sejam os spins na outra fronteira correspondente. Isso irá garantir que todos os spins tenham o mesmo número de vizinhos e a mesma geometria local. Cada spins da matriz poderá assumir apenas os valores de 1 e -1, representando a magnetização desse spin. Para o estado inicial do sistema, podemos escolher entre duas opções muito utilizadas: Ou determinamos $T=0$ e todos os spins, portanto, estarão alinhados na mesma direção, ou assumimos $T=\infty$, o que garantirá que o sistema tenha energia infinita e, portanto, teremos uma configuração aproximadamente aleatória garantido uma magnetização média do sistema como aproximadamente 0. Uma boa estratégia para otimizarmos a simulação é calcular a energia total do sistema no estado inicial utilizando a equação (1) e durante a dinâmica da simulação calcularmos apenas $\Delta E$, atualizando a nova energia do sistema com $E_{\nu }=E_{\mu }+\Delta E$. Para obtermos um novo estado, escolhemos aleatoriamente um spin e calculamos a variação de energia ao invertemos ele. Da equação (1), temos que só um spin $(s_{k})$ irá mudar de estado; logo, apenas seus vizinhos serão afetados. Temos que, para qualquer valor de $s_{k}$, $s_{k}^{\nu }-s_{k}^{\mu }=-2s_{k}^{\mu }$. Utilizando isso e fazendo a diferença entre as energias, podemos escrever

$\Delta E=2s_{k}(J\displaystyle \sum _{j}s_{j}+H),$

onde o somatório se dá nos vizinhos de $s_{k}$. Durante todo o processo de simulação que fizemos, utilizamos medidas de temperatura em unidades de energia. Dessa forma, temos $k_{B}=1$. Além disso, também utilizamos $J=1$. É interessante ressaltar que, durante a simulação, escolhemos medir o tempo de simulação em passos de Monte Carlo (Monte Carlo steps, ou apenas MCS), que representa o fato de que todos os spins do sistema receberam a chance de inverterem de estado. Em outras palavras, em um sistema com N spins, já ocorreram N seleções aleatórias de spins para tentar a mudança de estado.

Medição

Temos algumas medidas relevantes a serem feitas nessa simulação. Uma delas é a medida da magnetização, ou seja, o estado total do sistema. A magnetização total é dada pela soma dos estados de todos os spins, ou seja

$M_{\mu }=\displaystyle \sum _{i}s_{i}^{\mu }.$ De forma similar ao que foi feito para a energia, uma boa estratégia de otimização para a medida da magnetização é calcular a magnetização total do sistema no estado inicial e então somar $\Delta M$ sempre que o sistema aceitar a mudança de estado. Sendo que para qualquer $s_{k}$ temos $\Delta M=s_{k}^{\nu }-s_{k}^{\mu }=2s_{k}^{\nu }$, temos que

$M_{\nu }=M_{\mu }+2s_{k}^{\nu }.$

Outra medida relevante é a suscetibilidade magnética do sistema, dada por

$\chi ={\frac {<M^{2}>-<M>^{2}}{Nk_{B}T}},$

onde $N$ é o número total de spins ($L^{2}$), $<M^{2}>$ e $<M>$ são, respectivamente, a média quadrática da magnetização e média da magnetização durante a simulação. Por fim, temos a medida do calor específico do sistema, dada por

$c={\frac {<E^{2}>-<E>^{2}}{Nk_{B}^{2}T^{2}}},$

onde $<E^{2}>$ e $<E>$ são, respectivamente, a média quadrática da energia do sistema e média da energia durante a simulação. Antes de começar a somar as medidas de magnetização e energia do sistema para os cálculos da suscetibilidade magnética e do calor específico, é interessante dar um tempo de equilíbrio para o sistema, ou seja, deixar a simulação ocorrer durante um determinado tempo.

Conclusões e Observações

O modelo de Ising estudado neste trabalho é um modelo de spin extremamente simples. Outros modelos podem ser estudados. Por exemplo, podemos considerar os spins como sendo vetores de comprimento constante mas que tenham movimento de rotação em um plano[2], ou até mesmo considerar vetores em três dimensões[3]. Além disso, o alcance das interações entre os spins do sistema pode ser incrementada para os segundos, terceiros ou até mais distantes vizinhos mais próximos de um spin. Todos esses modelos têm sido estudados extensivamente. Apesar disso, o modelo simples em 2D com spins +1 e -1 estudado ainda representa bem as propriedades do sistema, principalmente o fenômeno de transição de fase.