Grupo - Lennard Jones

O potencial devido a interação entre duas partículas separadas por uma distância $r'$ pode ser modelado pelo potencial de Lennard Jones:

$U'(r')=4\epsilon \left[\left({\frac {\sigma }{r'}}\right)^{12}+\left({\frac {\sigma }{r'}}\right)^{6}\right].$

Posto em unidades reduzidas ($r\equiv r'/\sigma$ e $U\equiv U'/\epsilon$), o potencial reduz-se a:

$U(r)=4\left[\left({\frac {1}{r}}\right)^{12}+\left({\frac {1}{r}}\right)^{6}\right].$

Trabalha-se, por conveniência, com o seguintes sistema de unidades básicas:

Grandeza	Comprimento	Tempo	Massa	Temperatura	Energia	Pressão	Densidade
Unidade	$\sigma$	$\sigma {\sqrt {m_{p}/\epsilon }}$	$m_{p}$	$\epsilon /k_{B}$	$\epsilon$	$\epsilon /\sigma ^{3}$	$1/\sigma ^{3}$

onde $m_{p}$ é a massa da partícula e $k_{B}$ é a constante de Boltzmann. .

Método Monte Carlo

Denomina-se método de Monte Carlo métodos estatísticos que se baseiam em amostragem aleatória massiva para cálculo numérico.

Amostragem simples

Pode-se querer calcular uma integral numericamente utilizando Monte Carlo. Uma forma de fazer isso parte de que uma integral pode ser reescrita como

$F=\int _{a}^{b}{f(x)dx}=(b-a)\langle f(x)\rangle$

Dessa forma, utiliza-se amostragem aleatória massiva para estimar $\langle f(x)\rangle$, que é a média da função no intervalo de interesse.

Amostragem por importância

Um problema da amostragem simples é que ela utiliza uma distribuição uniforme, que pode, pra uma função que decaia rapidamente a zero, demorar muito a estimar corretamente o valor médio da função. Porém, podemos utilizar uma distribuição $w(x)$ que tenha um formato semelhante à função que queremos integrar, reescrevendo a integral $F=\int _{a}^{b}{{\frac {f(x)}{w(x)}}w(x)dx}$

Algoritmo de Metropolis

Dado uma amostra com $N$ partículas, a abordagem introduzida por Metropolis segue o seguinte esquema:

(1) Selecionar uma partícula aleatóriamente, e calcular sua energia $U(r)$;
(2) Dado o deslocamento $\mathbf {r_{n}} =\mathbf {r} +\mathbf {\Delta }$, calcular $U(r_{n})$;
(3) Aceitar o movimento $\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r_{n}}$ com probabilidade $p=min\{1;\exp[-\beta (U(r_{n})-U(r))]\}$

Estimadores no Equilíbrio

Em todos os exemplos tratados aqui, será usado o ensemble NVT (com o número de partículas, volume e temperatura constantes). Dado isso, os sistemas são caracterizados com um densidade e uma temperatura. Com tais sistema no equilíbrio, são estimadas (média de sucessivas medidas) a energia total e a pressão, dadas respectivamente por

$U_{T}=\sum _{i}\sum _{j>i}U(r_{ij}),$

$P={\frac {\rho }{\beta }}+{\frac {2}{3V}}\sum _{i}\sum _{j>i}\mathbf {f(\mathbf {r_{ij}} )} \cdot \mathbf {r_{ij}} ,$

onde $\mathbf {r_{ij}} =\mathbf {r_{j}} -\mathbf {r_{i}}$. Além disso, é interessante a análise da capacidade térmica

$C_{v}={\frac {\langle U_{T}^{2}\rangle -\langle U_{T}\rangle ^{2}}{k_{B}T^{2}}}.$

Detalhes Técnicos

Para

Diagramas de fase

Dado um sistema com densidade $\rho$ e temperatura $T$, os diagramas foram feitos com:

(A) $N=500$ partículas;
(B) Cubo de lado $L=(N/\rho )^{1/3}$ com condições de contorno periódicas;
(C) Incialização aleatória;
(D) Distância de corte $r_{c}=L/2$;
(E) Deslocamento $\Delta =L/2$.

T = 2.0 (acima do valor crítico)

Nessa situação (acima do valor crítico de temperatura), o gráfico pressão - densidade (esquerda) mostra sua injetividade, e por tanto, a não coexistência de fases (como esperado). O gráfico capacidade térmica - densidade (direita) é monotonicamente crescente, por consequência.

T = 0.9 (abaixo do valor crítico)

Nessa situação (abaixo do valor crítico de temperatura), o gráfico pressão - densidade (esquerda) mostra sua não-injetividade, e por tanto, a coexistência de fases líquido-vapor, apresentando metaestabilidade com pressões negativas na região. Esse efeito é devido ao tamanho pequeno da amostra, que tem um alto custo de energia livre para a criação de uma interface de vapor de líquido, por isso se torna pouco aconselhavel utilisar o ensemble NVT para diagramas de conexistência de fases.

Referências

• Cohen-Tannoudji C., Diu B., Laloe F. Quantum mechanics. Volume 1. Wiley, 1991.
• Numerical Resolution Of The Schrödinger Equation. Jorgensen L., Lopes Cardozo D., Thivierge E. http://web.pa.msu.edu/people/duxbury/courses/phy480/SchrodingerDynamics.pdf
• Crank, J.; Nicolson, P. (1947). "A practical method for numerical evaluation of solutions of partial differential equations of the heat conduction type". Proc. Camb. Phil. Soc. 43 (1): 50–67. doi:10.1007/BF02127704.
• Sherer, Philipp O.J., Computational Physics simulation of Classical and Quantum Systems. Springer, 2010.
• Born M., Nobel lecture: The statistical interpretation of quantum mechanics. 11 de Dezembro de 1954. https://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1954/born-lecture.pdf