Percolação 2D

Introdução

O objetivo deste trabalho é estudar, por meio de simulações de Monte Carlo, o problema da percolação de sítios em uma rede quadrada bidimensional. A percolação é um modelo estatístico simples, mas bastante útil para investigar como a conectividade de um sistema desordenado muda quando um determinado parâmetro é variado.

Esse tipo de problema aparece em diferentes contextos físicos e aplicados, como o escoamento de fluidos em meios porosos, a condução elétrica em materiais desordenados, a propagação de incêndios, a conectividade em redes e a transmissão de doenças em populações estruturadas. Em todos esses casos, a questão central é parecida: existe ou não um caminho conectado que atravessa o sistema?

Neste trabalho, considera-se uma rede quadrada de tamanho $L\times L$. Cada sítio da rede pode estar ocupado ou vazio. A ocupação de cada sítio ocorre aleatoriamente, com probabilidade $p$. Para cada valor de $p$, várias redes independentes são geradas. Em seguida, verifica-se se existe algum aglomerado de sítios ocupados conectando duas bordas opostas da rede. Quando isso acontece, dizemos que a rede percola.

O sistema apresenta uma transição entre dois regimes principais. Para valores baixos de $p$, os sítios ocupados formam apenas pequenos aglomerados isolados. Para valores altos de $p$, surge um aglomerado dominante que atravessa a rede. O valor crítico que separa esses dois comportamentos é chamado de limiar de percolação, indicado por $p_c$.

Para a percolação de sítios em uma rede quadrada bidimensional, considerando apenas vizinhos de cima, baixo, esquerda e direita, o valor crítico esperado no limite de uma rede infinita é aproximadamente

$p_c\approx 0.5927.$

A proposta deste trabalho é reproduzir numericamente esse comportamento, estudar os efeitos de tamanho finito, calcular barras de erro, analisar o tempo de computação, identificar o parâmetro de ordem e apresentar os diferentes regimes do sistema.

Definição do problema

O sistema estudado é uma rede quadrada bidimensional com $L^2$ sítios. Cada sítio pode assumir um de dois estados:

$n_i=\{\begin{array}{ll}1,& \text{sítio ocupado},\\ 0,& \text{sítio vazio}.\end{array}$

A ocupação de cada sítio é determinada pela probabilidade $p$. Para cada posição da rede, sorteia-se um número aleatório $r$, uniformemente distribuído no intervalo $[0,1]$. Se $r<p$, o sítio é ocupado. Caso contrário, o sítio permanece vazio.

Assim, quanto maior o valor de $p$, maior é a fração média de sítios ocupados na rede. Por exemplo, para $p=0.30$, aproximadamente 30% dos sítios estarão ocupados. Para $p=0.80$, aproximadamente 80% dos sítios estarão ocupados.

Dois sítios ocupados são considerados conectados quando são vizinhos diretos. Neste trabalho, utiliza-se a vizinhança de quatro primeiros vizinhos, isto é, cada sítio pode se conectar apenas com os sítios imediatamente acima, abaixo, à esquerda e à direita. As diagonais não são consideradas conexões.

A vizinhança adotada pode ser representada esquematicamente por

$\begin{array}{ccc}& \uparrow & \\ \leftarrow & n_i& \to \\ & \downarrow & \end{array}$

Um aglomerado é definido como um conjunto de sítios ocupados conectados entre si. O sistema é dito percolante quando existe pelo menos um aglomerado que conecta duas bordas opostas da rede. Neste trabalho, considera-se que há percolação quando um aglomerado conecta a borda superior à inferior ou a borda esquerda à direita.

Método de Monte Carlo

O método de Monte Carlo é utilizado porque o sistema é gerado a partir de processos aleatórios. Uma única rede não representa necessariamente o comportamento médio do sistema. Por isso, para cada valor de $p$ e para cada tamanho de rede $L$, são geradas várias realizações independentes.

O procedimento geral da simulação é:

• Escolher o tamanho da rede $L$;
• Escolher a probabilidade de ocupação $p$;
• Gerar uma matriz aleatória $L\times L$;
• Marcar cada sítio como ocupado com probabilidade $p$;
• Identificar os aglomerados de sítios ocupados;
• Verificar se algum aglomerado conecta duas bordas opostas;
• Calcular as grandezas de interesse;
• Repetir o processo muitas vezes para obter médias estatísticas e barras de erro.

De forma resumida, o algoritmo pode ser escrito como:

$\begin{array}{l}\text{Para cada tamanho }L:\\ \text{Para cada probabilidade }p:\\ \text{Para cada realização independente:}\\ \text{Gerar uma rede aleatória;}\\ \text{Identificar os aglomerados;}\\ \text{Verificar se a rede percola;}\\ \text{Calcular }{S}_{\max }\text{ e outras grandezas.}\end{array}$

A identificação dos aglomerados foi feita por rotulagem de componentes conectados. Nesse procedimento, cada grupo de sítios ocupados conectados recebe um rótulo. Depois disso, verifica-se quais rótulos aparecem nas bordas da rede. Se o mesmo rótulo aparece em duas bordas opostas, então esse aglomerado atravessa o sistema e a rede percola.

Regimes físicos da percolação

O modelo de percolação apresenta dois regimes principais, separados por uma região crítica.

No regime subcrítico, isto é, para $p<p_c$, há poucos sítios ocupados. Os aglomerados formados são pequenos e desconectados. Não existe um caminho contínuo atravessando o sistema.

Na região crítica, isto é, para $p\approx p_c$, os aglomerados tornam-se maiores, mais ramificados e mais irregulares. Pequenas variações em $p$ podem alterar de forma significativa a probabilidade de percolação.

No regime supercrítico, isto é, para $p>p_c$, aparece um aglomerado dominante que atravessa a rede. Nesse caso, há conectividade de longo alcance.

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  Figura 1: Exemplos visuais da percolação de sítios em uma rede quadrada bidimensional. Os sítios vazios aparecem em branco, os sítios ocupados aparecem em cinza e o maior aglomerado aparece destacado em preto. Para valores baixos de p, os aglomerados são pequenos e desconectados. Perto de p_c, aparecem estruturas maiores e ramificadas. Para valores altos de p, surge um aglomerado dominante atravessando o sistema.

A Figura 1 ilustra os três regimes. Para $p=0.40$, a rede está abaixo do limiar crítico e não apresenta conectividade de longo alcance. Para $p\approx 0.5927$, o sistema está próximo da região crítica. Para $p=0.75$, há um aglomerado grande que atravessa a rede, caracterizando o regime percolante.

Probabilidade de percolação

A primeira grandeza analisada foi a probabilidade de percolação, indicada por $R_L(p)$. Para um tamanho de rede $L$ e uma probabilidade de ocupação $p$, essa grandeza é definida por

$R_L(p)=\frac{N_{\text{perc}}}{N_{\text{total}}},$

onde $N_{\text{perc}}$ é o número de realizações em que a rede percolou e $N_{\text{total}}$ é o número total de realizações simuladas.

Quando $R_L(p)\approx 0$, quase nenhuma rede percola. Quando $R_L(p)\approx 1$, quase todas as redes percolam. Perto do limiar crítico $p_c$, a probabilidade de percolação cresce rapidamente.

No limite de uma rede infinita, a transição entre os regimes não percolante e percolante seria abrupta. Entretanto, como as simulações são feitas em redes finitas, a transição aparece suavizada. Esse efeito é uma consequência do tamanho finito do sistema.

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  Figura 2: Probabilidade de percolação R_L(p) em função da probabilidade de ocupação p para diferentes tamanhos de rede. A linha vertical tracejada indica o valor crítico esperado p_c aproximadamente igual a 0.5927.

A Figura 2 mostra a probabilidade de percolação para diferentes tamanhos de rede. Para valores pequenos de $p$, a probabilidade de percolação é próxima de zero. Para valores grandes de $p$, a probabilidade se aproxima de um. A transição ocorre próxima de $p\approx 0.5927$, em concordância com o valor esperado para a rede quadrada bidimensional.

Também é possível observar que a curva se torna mais inclinada conforme o tamanho da rede aumenta. Isso indica que redes maiores se aproximam melhor do comportamento esperado no limite termodinâmico.

Barras de erro

Como o método de Monte Carlo é estatístico, é necessário estimar as incertezas associadas às grandezas medidas.

No caso da probabilidade de percolação, cada realização pode ser vista como um evento binário: a rede percola ou não percola. Dessa forma, a incerteza estatística pode ser estimada por uma expressão binomial:

${\sigma }_R=\sqrt{\frac{R_L(p)[1-R_L(p)]}{N_{\text{total}}}}.$

Essa expressão mostra que a incerteza diminui quando o número de realizações independentes aumenta. Portanto, simulações com mais amostras produzem curvas mais suaves e barras de erro menores.

Para outras grandezas, como o tamanho médio do maior aglomerado, as barras de erro foram calculadas usando o erro padrão da média:

${\sigma }_{\overline{x}}=\frac{{\sigma }_x}{\sqrt{N_{\text{total}}}},$

onde ${\sigma }_x$ é o desvio padrão das medidas individuais e $N_{\text{total}}$ é o número de realizações independentes.

As barras de erro são especialmente importantes perto da região crítica, onde as flutuações entre diferentes realizações tornam-se maiores.

Parâmetro de ordem

O parâmetro de ordem escolhido para caracterizar a transição foi a fração da rede pertencente ao maior aglomerado. Essa grandeza é definida como

$S_{\max }=\frac{N_{\max }}{L^2},$

onde $N_{\max }$ é o número de sítios ocupados no maior aglomerado da rede.

Esse parâmetro mede a presença de conectividade macroscópica. Abaixo do limiar crítico, o maior aglomerado ocupa apenas uma pequena fração da rede. Acima do limiar crítico, surge um aglomerado dominante, e $S_{\max }$ cresce de forma significativa.

Assim, $S_{\max }$ funciona como um parâmetro de ordem para o problema de percolação. Ele é pequeno no regime não percolante e torna-se grande no regime percolante.

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  Figura 3: Parâmetro de ordem S_max em função da probabilidade de ocupação p. O crescimento de S_max indica o surgimento de um aglomerado dominante no regime percolante.

A Figura 3 apresenta o comportamento de $S_{\max }$ em função de $p$. Para valores baixos de $p$, o maior aglomerado representa uma fração pequena da rede. Conforme $p$ aumenta e se aproxima de $p_c$, ocorre um crescimento acentuado. Para valores acima de $p_c$, o maior aglomerado passa a ocupar uma parte significativa do sistema.

Suscetibilidade geométrica

Além do parâmetro de ordem, também foi calculada uma grandeza análoga à suscetibilidade, associada ao tamanho médio dos aglomerados finitos. Essa grandeza é útil porque indica o aumento das flutuações perto da região crítica.

A suscetibilidade geométrica pode ser escrita como

$\chi =\frac{\sum _s{s}^2{n}_s}{\sum _{s}s{n}_s},$

onde $s$ é o tamanho de um aglomerado e $n_s$ é o número de aglomerados de tamanho $s$. No cálculo, o maior aglomerado é excluído, pois no regime supercrítico ele pode corresponder ao aglomerado percolante.

A grandeza $\chi$ mede o tamanho típico dos aglomerados finitos. Perto do limiar crítico, os aglomerados tornam-se maiores e mais ramificados, fazendo com que $\chi$ apresente um máximo.

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  Figura 4: Suscetibilidade geométrica em função da probabilidade de ocupação p. O pico próximo à região crítica indica o aumento do tamanho médio dos aglomerados finitos.

A Figura 4 mostra a suscetibilidade geométrica em função de $p$. O pico próximo de $p_c$ indica que, nessa região, as flutuações do sistema são mais intensas. Esse comportamento é característico de fenômenos críticos.

Análise de tamanho finito

A análise de tamanho finito é uma parte essencial deste trabalho. Como as simulações são feitas em redes com tamanho limitado, a transição não aparece de forma perfeitamente abrupta. Em vez disso, cada tamanho $L$ apresenta uma curva suavizada.

Foram simuladas redes de diferentes tamanhos, como

$L=20,40,80,120.$

Para cada tamanho, foi estimado um limiar efetivo $p_c(L)$. Uma forma simples de estimar esse valor é encontrar o ponto em que a probabilidade de percolação é igual a 0.5:

$R_L[p_c(L)]=0.5.$

Esse valor representa a probabilidade de ocupação na qual metade das redes simuladas percola.

Em sistemas finitos, $p_c(L)$ pode se desviar do valor crítico do sistema infinito. Porém, conforme $L$ aumenta, espera-se que $p_c(L)$ se aproxime de $p_c$. Para a percolação bidimensional, esse deslocamento pode ser analisado aproximadamente pela relação

$p_c(L)-p_c(\mathrm{\infty })\propto L^{-1/\nu },$

com

$\nu =\frac{4}{3}.$

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  Figura 5: Estimativa do limiar crítico efetivo p_c(L) em função de L^{-1/nu}, com nu = 4/3. A extrapolação para L^{-1/nu} tendendo a zero corresponde ao limite de tamanho infinito.

A Figura 5 mostra a estimativa de $p_c(L)$ em função de $L^{-1/\nu }$. A extrapolação para $L^{-1/\nu }\to 0$ corresponde ao limite de tamanho infinito. O resultado esperado é que essa extrapolação se aproxime de $p_c\approx 0.5927$.

Essa análise mostra como os resultados numéricos dependem do tamanho do sistema e permite comparar os dados simulados com o valor crítico conhecido.

Colapso de escala

Uma forma adicional de verificar a consistência da análise de tamanho finito é usar uma variável de escala. Perto do ponto crítico, a probabilidade de percolação pode ser escrita aproximadamente como uma função da combinação

$(p-p_c)L^{1/\nu }.$

Assim, ao representar $R_L(p)$ em função de $(p-p_c)L^{1/\nu }$, curvas de diferentes tamanhos $L$ tendem a se aproximar de uma curva universal.

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  Figura 6: Colapso de escala aproximado para a probabilidade de percolação. As curvas para diferentes tamanhos de rede são representadas em função da variável de escala (p-p_c)L^{1/nu}.

A Figura 6 mostra o colapso de escala aproximado. As curvas não precisam coincidir perfeitamente, pois as simulações foram feitas com tamanhos finitos e número finito de amostras. Mesmo assim, a aproximação entre elas indica que o comportamento observado é compatível com a teoria de escala para percolação.

Tempo de computação

O tempo de computação também foi analisado. Para cada realização, é necessário gerar uma rede aleatória e identificar seus aglomerados. Como a rede possui $L^2$ sítios, o custo computacional tende a crescer aproximadamente com a área da rede.

Assim, espera-se que o tempo por realização cresça aproximadamente como

$t\propto L^2.$

O tempo total da simulação depende também do número de valores de $p$ e do número de realizações independentes. De forma aproximada,

$t_{\text{total}}\propto N_p\times N_{\text{amostras}}\times L^2,$

onde $N_p$ é o número de valores de $p$ simulados e $N_{\text{amostras}}$ é o número de realizações independentes para cada valor de $p$.

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  Figura 7: Tempo médio de computação por realização em função do tamanho linear da rede L. A curva de referência proporcional a L² indica o comportamento esperado para um algoritmo que percorre todos os sítios da rede.

A Figura 7 mostra o tempo médio de computação por realização em função de $L$. A curva medida é comparada com uma referência proporcional a $L^2$. Esse resultado confirma que redes maiores exigem mais tempo de processamento, pois possuem mais sítios a serem gerados e analisados.

Resumo dos parâmetros usados

Os principais parâmetros utilizados nas simulações foram escolhidos de modo a permitir a análise da transição de percolação, dos efeitos de tamanho finito, das barras de erro e do tempo de computação.

• $L$: representa o tamanho linear da rede quadrada. Foram utilizadas redes com $L=20$, $L=40$, $L=80$ e $L=120$. Como a rede possui dimensões $L\times L$, o número total de sítios é dado por $L^2$.
• $p$: representa a probabilidade de ocupação de cada sítio da rede. Os valores simulados foram escolhidos no intervalo entre $0.35$ e $0.80$, de modo a incluir tanto o regime não percolante quanto o regime percolante.
• $N_{\text{amostras}}$: representa o número de realizações independentes feitas para cada par de valores $(L,p)$. Neste trabalho, foram usadas $100$ realizações para cada ponto simulado.
• Vizinhança: foi usada a vizinhança de quatro primeiros vizinhos. Assim, um sítio ocupado pode se conectar apenas com os sítios ocupados acima, abaixo, à esquerda e à direita. As conexões diagonais não foram consideradas.
• $p_c$: representa o limiar crítico esperado para a percolação de sítios em uma rede quadrada bidimensional. O valor teórico usado como referência foi $p_c\approx 0.5927$.

Discussão dos resultados

Os resultados obtidos reproduzem qualitativamente o comportamento esperado para a percolação de sítios em uma rede quadrada bidimensional.

A probabilidade de percolação apresenta uma transição clara em torno de $p\approx 0.5927$. Para valores menores que esse limiar, quase nenhuma realização apresenta um aglomerado atravessando a rede. Para valores maiores, a maior parte das redes passa a percolar.

A análise do parâmetro de ordem $S_{\max }$ mostra o surgimento de um aglomerado dominante no regime supercrítico. Esse resultado é consistente com a interpretação física da percolação como uma transição entre um regime sem conectividade macroscópica e um regime com conectividade de longo alcance.

A suscetibilidade geométrica apresenta um pico próximo à região crítica, indicando que os aglomerados finitos atingem tamanhos maiores perto do limiar de percolação. Esse comportamento é típico de sistemas críticos, nos quais as flutuações aumentam significativamente na vizinhança do ponto crítico.

A análise de tamanho finito mostra que a transição se torna mais definida à medida que $L$ aumenta. Redes pequenas apresentam maior suavização da transição, enquanto redes maiores se aproximam melhor do comportamento esperado para o sistema infinito.

Por fim, a análise do tempo de computação mostra que o custo cresce aproximadamente com o número de sítios da rede. Esse resultado é esperado, pois cada realização exige a geração e a análise de uma matriz com $L^2$ posições.

Conclusão

Neste trabalho, foi estudado o problema da percolação de sítios em uma rede quadrada bidimensional usando simulações de Monte Carlo. O modelo consiste em ocupar aleatoriamente os sítios de uma rede com probabilidade $p$ e verificar se existe um aglomerado conectado atravessando o sistema.

Os resultados mostram a existência de uma transição entre uma fase não percolante e uma fase percolante. Essa transição ocorre próxima ao valor crítico esperado

$p_c\approx 0.5927.$

Foram calculadas a probabilidade de percolação, o parâmetro de ordem associado ao maior aglomerado e uma suscetibilidade geométrica relacionada aos aglomerados finitos. Também foram estimadas barras de erro a partir de realizações independentes e realizada uma análise de tamanho finito usando diferentes valores de $L$.

A simulação confirma que, para redes finitas, a transição é suavizada, mas torna-se mais abrupta conforme o tamanho da rede aumenta. A extrapolação de tamanho finito permite comparar os resultados numéricos com o valor crítico conhecido para o sistema infinito.

Além disso, a análise do tempo de computação mostra que o custo cresce aproximadamente com $L^2$, refletindo o aumento do número de sítios da rede.

Portanto, a percolação 2D é um problema adequado para estudar Monte Carlo, transições críticas, efeitos de tamanho finito, barras de erro, parâmetros de ordem e regimes físicos distintos de maneira visual e computacionalmente acessível.

Referências

• Stauffer, D.; Aharony, A. Introduction to Percolation Theory. Taylor & Francis.
• Newman, M. E. J.; Ziff, R. M. Efficient Monte Carlo algorithm and high-precision results for percolation. Physical Review Letters, 85, 4104, 2000.
• Grimmett, G. Percolation. Springer.