Equação de Klein-Gordon

INTRODUÇÃO

A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E=p^2c^2 + m^2c^4 } . A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 }

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) } é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2\psi}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{m^2c^4}{\hbar^2} } em uma dimensão.

então

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\psi -{\frac {m^{2}c^{4}}{\hbar ^{2}}}\psi$

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac {m^{2}c^{4}}{\hbar ^{2}}}\psi$ (em uma dimensão)

no método das diferenças finitas:

${\frac {\partial ^{2}\psi (x,t)}{\partial t^{2}}}\approx {\frac {\psi (x,t+\Delta t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^{2}}}$

${\frac {\partial ^{2}\psi (x,t)}{\partial x^{2}}}\approx {\frac {\psi (x+\Delta x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x,-\Delta ,t)}{(\Delta x)^{2}}}$

ou seja:

${\frac {\psi (x,t+\Delta t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^{2}}}=c^{2}{\frac {\psi (x+\Delta x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x,-\Delta ,t)}{(\Delta x)^{2}}}-{\frac {m^{2}c^{4}}{\hbar ^{2}}}\psi$

isso nos leva a equação final:

$\psi (x,t+\Delta t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\Delta t)={\frac {c^{2}\Delta t^{2}}{\Delta x^{2}}}\psi (x+\Delta x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x,-\Delta ,t)-{\frac {m^{2}c^{4}\Delta t^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi$

chamarei $\alpha ={\frac {c\Delta t}{\Delta x}}$ e $\beta ={\frac {mc^{2}\Delta t}{\hbar }}$

$\psi (x,t+\Delta t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\Delta t)=\alpha ^{2}\psi (x+\Delta x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x,-\Delta ,t)-\beta ^{2}\psi$